Encontre a solução da EDO com condições iniciais. y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; f(t)= 1, & 0 <= t<pi / 2 0, & t >= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que está assim:
com as condições iniciais:
E a função [f(t)) é definida por:
Hoje, vamos lidar com equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas. Vamos precisar separar a solução em duas partes: uma para quando .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada. Isso significa resolver quando f(t) = 0 :
y'' + y = 0
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
yh(t) = A cos(t) + B sin(t)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa y'' + y = f(t) .
Para 0 <= t < pi / 2 , f(t) = 1 , então a equação fica:
y'' + y = 1
Vamos supor que a solução particular yp(t) é uma constante, já que o lado direito é constante. Vamos testar:
Assumindo yp(t) = C , então yp''(t) = 0 . Substituindo na equação:
0 + C = 1 implies C = 1
Portanto, a solução particular é yp(t) = 1 .

Passo 4

Então, para 0 <= t < pi / 2 , a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = A cos(t) + B sin(t) + 1
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar A e B .

Passo 5

Aplicando a condição y(0) = 0 :
0 = A cos(0) + B sin(0) + 1 implies 0 = A cdot 1 + B cdot 0 + 1 implies A = -1
Aplicando a condição y'(0) = 1 :
Primeiro, encontramos a derivada de y(t) :
y'(t) = -A sin(t) + B cos(t)
Então:
1 = -(-1) sin(0) + B cos(0) implies 1 = 0 + B cdot 1 implies B = 1

Passo 6

Com A = -1 e B = 1 , a solução para 0 <= t < pi / 2 é:
y(t) = -cos(t) + sin(t) + 1

Passo 7

Agora, para t >= pi / 2 , f(t) = 0 , então a equação é novamente homogênea:
y'' + y = 0
A solução geral aqui é:
y(t) = C cos(t) + D sin(t)
Precisamos determinar C e D garantindo que a solução seja contínua e suave em t = pi / 2 .

Passo 8

Vamos garantir que y(t) e y'(t) sejam contínuas em t = pi / 2 .
Primeiro, calculamos y(pi/2) e y'(pi/2) para a solução de 0 <= t < pi / 2 :
y(pi2) = -cos(pi2) + sin(pi2) + 1 = -0 + 1 + 1 = 2
y'(pi2) = sin(pi2) + cos(pi2) = 1 + 0 = 1
Então, para t >= pi / 2 :
y(pi2) = C cos(pi2) + D sin(pi2) = 0 + D cdot 1 = D = 2
y'(pi2) = -C sin(pi2) + D cos(pi2) = -C cdot 1 + 0 = -C = 1 implies C = -1

Passo 9

Com C = -1 e D = 2 , a solução para t >= pi / 2 é:
y(t) = -cos(t) + 2 sin(t)

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
y(t) = -cos(t) + sin(t) + 1, & 0 <= t < pi / 2 -cos(t) + 2 sin(t), & t >= pi / 2

Exercícios relacionados