Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que está assim:
com as condições iniciais:
E a função [f(t)) é definida por:
Hoje, vamos lidar com equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas. Vamos precisar separar a solução em duas partes: uma para quando .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada. Isso significa resolver quando
f(t) = 0 :
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui,
A e
B são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
y'' + y = f(t) .
Para
0 <= t < pi / 2 ,
f(t) = 1 , então a equação fica:
Vamos supor que a solução particular
yp(t) é uma constante, já que o lado direito é constante. Vamos testar:
Assumindo
yp(t) = C , então
yp''(t) = 0 . Substituindo na equação:
Portanto, a solução particular é
yp(t) = 1 .
Passo 4
Então, para
0 <= t < pi / 2 , a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
A e
B .
Passo 5
Aplicando a condição
y(0) = 0 :
Aplicando a condição
y'(0) = 1 :
Primeiro, encontramos a derivada de
y(t) :
Então:
Passo 6
Com
A = -1 e
B = 1 , a solução para
0 <= t < pi / 2 é:
Passo 7
Agora, para
t >= pi / 2 ,
f(t) = 0 , então a equação é novamente homogênea:
A solução geral aqui é:
Precisamos determinar
C e
D garantindo que a solução seja contínua e suave em
t = pi / 2 .
Passo 8
Vamos garantir que
y(t) e
y'(t) sejam contínuas em
t = pi / 2 .
Primeiro, calculamos
y(pi/2) e
y'(pi/2) para a solução de
0 <= t < pi / 2 :
Então, para
t >= pi / 2 :
Passo 9
Com
C = -1 e
D = 2 , a solução para
t >= pi / 2 é:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é: