Encontre a parametrização de um cilindro com altura h=3 e raio r=6.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície lateral de um cilindro de altura h=3 e raio r=6. O conteúdo é “parametrização de superfícies” usando coordenadas cilíndricas, onde variamos o ângulo ao redor do eixo e a altura ao longo do eixo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, um ponto qualquer com raio fixo \,r=6 pode ser escrito como
(x,y)=(6\cos\theta,\,6\sin\theta)
e a coordenada vertical z varia de 0 até a altura 3.

Passo 3

Logo, introduzimos dois parâmetros:
\theta, que descreve o ângulo em volta do eixo, com \theta\in[0,2\pi].
t, que descreve a altura, com t\in[0,3].
A parametrização fica então
\mathbf r(\theta,t)=\bigl(6\cos\theta,\;6\sin\theta,\;t\bigr), \quad (\theta,t)\in[0,2\pi]\times[0,3].

Resposta

\mathbf r(\theta,t)=\bigl(6\cos\theta,\;6\sin\theta,\;t\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi,\;0\le t\le3.

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