Encontre uma parametrização para a reta que é interseção dos planos x+y-z=2 e x+2 y+z=3.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos
x + y - z = 2
x + 2y + z = 3
e pede uma parametrização da reta que é a interseção desses planos. Para isso, vamos precisar de dois ingredientes:
  1. O vetor direção da reta, que é dado pelo produto vetorial dos vetores normais aos planos.
  2. Um ponto qualquer que pertença à reta, obtido resolvendo o sistema dos dois planos para valores convenientes de uma variável.

Passo 2

Cada plano tem um vetor normal. Do primeiro plano \mathbf{n}_1 = (1,1,-1) e do segundo \mathbf{n}_2 = (1,2,1). O vetor direção \mathbf{v} da reta é
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 1 & -1 \\[6pt] 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\,\mathbf{i} - 2\,\mathbf{j} + 1\,\mathbf{k},
ou seja,
\mathbf{v} = (3,\,-2,\,1).]

Passo 3

Para achar um ponto particular \mathbf{P}_0=(x_0,y_0,z_0) na reta, basta escolher um valor conveniente para uma das variáveis e resolver o sistema. Tomemos z=0. Então os planos viram
x + y = 2,
x + 2y = 3.
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos y=1. Substituindo em x+y=2, vem x=1. Logo
\mathbf{P}_0 = (1,\,1,\,0).

Passo 4

Com o ponto \mathbf{P}_0 e o vetor direção \mathbf{v}, a parametrização da reta de interseção é
\mathbf{r}(t) = \mathbf{P}_0 + t\,\mathbf{v} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{r}(t) = (1,1,0) + t\,(3,-2,1).

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(t) = (1,1,0) + t\,(3,-2,1), \quad t\in\mathbb{R}.}

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