Encontre uma parametrização da curva
obtida como interseção das superfícies
e
. Tente esboçar as superfícies e a curva interseção.
com equação
e
com equação
;
Passo 1
O enunciado pede a curva
que é a interseção da elipsoide
com o plano
Geometricamente, essa interseção é uma elipse. Para achar uma parametrização, vamos isolar
no plano e substituir na equação da elipsoide, depois levar o resultado a uma forma de “círculo/Axes-alinhados” para parametrizar com cosseno e seno.
Passo 2
Isolamos
em
:
Passo 3
Substituímos esse
em
:
Expandindo
logo
Dividindo por
:
Passo 4
Fazemos o “complete square” em
:
Então
Escrevendo na forma padrão de elipse:
logo os semi-eixos são
na direção
e
na direção
.
Passo 5
Agora parametrizamos essa elipse padrão usando um parâmetro
:
E lembrando
, temos
Resposta
Uma parametrização conveniente da curva
é
Essa curva é uma elipse obtida cortando o elipsoide pelo plano inclinado.