Verifique cada afirmação e julgue verdadeiro (V) ou falso (F). Se for verdadeiro, justifique sua resposta, se for falso, encontre um contra-exemplo.
(a) \operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A);
(b) \operatorname{det}\left(A^{2}\right)=(\operatorname{det}(A))^{2};
(c) \operatorname{det}(I+A)=1+\operatorname{det}(A);
(d) Não existe matriz quadrada tal que A para o qual \operatorname{det}\left(A A^{t}\right)=-1.
(e) O determinante de uma matriz permanece inalterado se escrevemos as colunas em ordem inversa.

Passo 1

O enunciado pede para julgar as seguintes afirmações sobre determinantes de matrizes quadradas e, se forem verdadeiras, justificar; se forem falsas, dar contra-exemplo. O conteúdo principal é a propriedade de homogeneidade do determinante, a multiplicatividade e o efeito de operações sobre colunas.

Passo 2

Afirmação (a): “ \det(2A)=2\det(A)”.
Sabemos que, para uma matriz n\times n, vale a propriedade de homogeneidade
\det(cA)=c^n\,\det(A).
Logo, \det(2A)=2^n\det(A), não 2\det(A).
Contra-exemplo: seja
A=I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Então \det(A)=1, mas
\det(2A)=\det(2I_{2})=2^2\cdot1=4\neq2\cdot1=2.
Logo (a) é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “ \det(A^{2})=(\det(A))^{2}”.
Usamos que \det(AB)=\det(A)\det(B) para quaisquer matrizes quadradas compatíveis. Tomando B=A, obtém-se
\det(A^2)=\det(A)\det(A)=(\det(A))^2.
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “ \det(I+A)=1+\det(A)”.
Não há regra geral que some determinantes assim.
Contra-exemplo: seja
A=I_{2}.
Então \det(A)=1 e
\det(I+A)=\det(2I_{2})=2^2=4\neq1+1=2.
Logo (c) é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Não existe matriz quadrada A tal que \det(AA^{t})=-1”.
Como \det(AA^t)=\det(A)\det(A^t)=\det(A)^2, o valor é sempre \ge0. Nunca dá -1.
Portanto (d) é verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “O determinante de uma matriz permanece inalterado se escrevemos as colunas em ordem inversa.”
Reverter todas as colunas equivale a aplicar n(n-1)/2 trocas de colunas, cada troca muda o sinal do determinante. O fator total é
(-1)^{\frac{n(n-1)}2},
que não é sempre +1.
Contra-exemplo: para n=2, seja
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix}, \det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2, e invertendo colunas obtemos \begin{pmatrix}2&1\\\ 4&3\end{pmatrix} com determinante 2\cdot3-1\cdot4=2\neq-2.
Logo (e) é falsa.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F

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