Encontre uma parametrização para a curva de nível no nível k de f nos casos:
(a) f(x, y)=x+2 y-3, k=-2;
(b) f(x, y)=x-raiz1-2 y^2, k=5;
(c) f(x, y)=1x^2-y^2, k=1.
Encontre a reta tangente às curvas dos itens (a), (b) e (c) acima nos pontos (12, 14), (6, 0) e (raiz2, 1), respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede, em cada caso, duas coisas:
  1. Uma parametrização da curva de nível definida por f(x,y)=k.
  2. A reta tangente a essa curva no ponto indicado.
O conteúdo é curvas de nível (equações implícitas) e derivada implícita (ou gradiente) para achar a reta tangente.

Passo 2

Caso (a): f(x,y)=x+2y-3 e k=-2.
A condição da curva de nível é
x+2y-3=-2 Longrightarrow x+2y=1
Podemos tomar y=t e então
x=1-2t, y=t,
com tinR.
Logo, uma parametrização é
x(t)=1-2t, y(t)=t

Passo 3

Caso (b): f(x,y)=x-raiz1-2y^2 e k=5.
A curva é
x-raiz1-2y^2=5 Longrightarrow x=5+raiz1-2y^2,
com a restrição 1-2y^2>=0. Tomando y=t em l[-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r], obtemos
x(t)=5+raiz1-2t^2, y(t)=t

Passo 4

Caso (c): f(x,y)=1x^2-y^2 e k=1.
A curva de nível é
1x^2-y^2=1 Longrightarrow x^2-y^2=1,
que é uma hipérbole. Uma parametrização canônica (ramo direito) é
x(t)=cosh(t), y(t)=sinh(t), tinR
(O ramo esquerdo viria com x(t)=-cosh(t).)

Passo 5

Reta tangente em (a):
Temos F(x,y)=x+2y-1=0. O gradiente é nabla F=(1,2), normal à curva. Então a inclinação da tangente é
m=-FxFy=-12
No ponto l(tfrac12,tfrac14r), a reta é
y-tfrac14=-tfrac12l(x-tfrac12r)

Passo 6

Reta tangente em (b):
Defina F(x,y)=x-raiz1-2y^2-5. Então
Fx=1, Fy=2yraiz1-2y^2
No ponto (6,0) o denominador em Fy é zero, o que dá reta vertical. E de fato a curva passa por x=6. Logo
reta: x=6

Passo 7

Reta tangente em (c):
Temos F(x,y)=x^2-y^2-1, com nabla F=(2x,-2y). A inclinação da reta é
m=-FxFy=-2x-2y=xy
No ponto (raiz2,1) isso vale m=raiz2. Então
y-1=raiz2,(x-raiz2)

Resposta

Parametrizações:
(a) x(t)=1-2t,;y(t)=t.
(b) x(t)=5+raiz1-2t^2,;y(t)=t,;tinl[-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r].
(c) x(t)=cosh(t),;y(t)=sinh(t),;tinR.
Retas tangentes:
(a) y-tfrac14=-tfrac12,(x-tfrac12).
(b) x=6.
(c) y-1=raiz2,(x-raiz2).

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