Encontre uma parametrização para a curva de nível no nível
de
nos casos:
(a)
;
(b)
;
(c)
.
Encontre a reta tangente às curvas dos itens (a), (b) e (c) acima nos pontos
, (6, 0) e
, respectivamente.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede, em cada caso, duas coisas:
- Uma parametrização da curva de nível definida por
. - A reta tangente a essa curva no ponto indicado.
O conteúdo é curvas de nível (equações implícitas) e derivada implícita (ou gradiente) para achar a reta tangente.
Passo 2
Caso (a):
e
.
A condição da curva de nível é
A condição da curva de nível é
Podemos tomar
e então
com
.
Logo, uma parametrização é
Logo, uma parametrização é
Passo 3
Caso (b):
e
.
A curva é
A curva é
com a restrição
. Tomando
em
, obtemos
Passo 4
Caso (c):
e
.
A curva de nível é
A curva de nível é
que é uma hipérbole. Uma parametrização canônica (ramo direito) é
(O ramo esquerdo viria com
.)
Passo 5
Reta tangente em (a):
Temos . O gradiente é
, normal à curva. Então a inclinação da tangente é
Temos
No ponto
, a reta é
Passo 6
Reta tangente em (b):
Defina . Então
Defina
No ponto
o denominador em
é zero, o que dá reta vertical. E de fato a curva passa por
. Logo
Passo 7
Reta tangente em (c):
Temos , com
. A inclinação da reta é
Temos
No ponto
isso vale
. Então
Resposta
Parametrizações:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
Retas tangentes:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)