Sendo \vec{u} e \vec{v} de norma 2 , \vec{w} unitário, \vec{u} \bullet \vec{w}=-1, \vec{v} \bullet \vec{w}=-2 e ang (\vec{u}, \vec{v})=\pi / 6, calcule 2i (\vec{w}-\vec{v}+\vec{u}) \bullet(-\vec{u}+2 \vec{w}+\vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec u,\vec v,\vec w com \|\vec u\|=\|\vec v\|=2, \|\vec w\|=1, \vec u\!\cdot\!\vec w=-1, \vec v\!\cdot\!\vec w=-2 e \angle(\vec u,\vec v)=\pi/6. Pede-se calcular o produto escalar
(\vec w-\vec v+\vec u)\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v).
Usaremos propriedades bilineares do produto escalar.

Passo 2

Calculamos primeiro \vec u\!\cdot\!\vec v a partir de \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\pi/6):
\vec u\!\cdot\!\vec v = 2\cdot2\cdot\cos\!\bigl(\tfrac\pi6\bigr) =4\cdot\frac{\sqrt3}{2} =2\sqrt3.

Passo 3

Denote S=(\vec w-\vec v+\vec u)\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v).
Pela bilinearidade,
S =\vec w\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v) \;-\;\vec v\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v) \;+\;\vec u\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v).

Passo 4

Calculamos o primeiro termo:
\vec w\cdot(-\vec u)= -(\vec w\cdot\vec u)= -(-1)=1, \quad \vec w\cdot(2\vec w)=2\|\vec w\|^2=2, \quad \vec w\cdot\vec v=-2.
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\vec w\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v) =1+2-2=1.

Passo 5

O segundo termo é
-\vec v\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v) =-\bigl(-\vec v\cdot\vec u+2\vec v\cdot\vec w+\|\vec v\|^2\bigr).
Substituindo \vec v\!\cdot\!\vec u=2\sqrt3, \vec v\!\cdot\!\vec w=-2, \|\vec v\|^2=4,
-\bigl(-2\sqrt3 +2(-2)+4\bigr) =-\bigl(-2\sqrt3 -4+4\bigr) =-(-2\sqrt3) =2\sqrt3.

Passo 6

O terceiro termo é
\vec u\cdot(-\vec u+2\vec w+\vec v) =-\|\vec u\|^2 +2\vec u\!\cdot\!\vec w +\vec u\!\cdot\!\vec v =-4 +2(-1) +2\sqrt3 =-6+2\sqrt3.

Passo 7

Somando tudo:
S = 1 + 2\sqrt3 + (-6+2\sqrt3) =1-6 +4\sqrt3 =-5 +4\sqrt3.

Resposta

-5 +4\sqrt3.

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