Os lados de um triângulo equilátero tem medida 3. Calcule \overrightarrow{A B} \bullet \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C} \bullet \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C A} \bullet \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero de lado 3 e pede o valor de
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}.
Aqui vamos usar propriedades de produto escalar e a relação vetorial em um triângulo fechado.

Passo 2

Em qualquer triângulo fechamos o ciclo de vetores:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.
Se tomarmos o quadrado do módulo desse vetor nulo, obtemos
\bigl\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\bigr\|^2 = 0.
Expandindo o quadrado do somatório pelo produto escalar, vem
\|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2 + \|\overrightarrow{CA}\|^2 + 2\bigl(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}\bigr) = 0.

Passo 3

Num triângulo equilátero de lado 3 vale
\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{BC}\| = \|\overrightarrow{CA}\| = 3,
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\|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2 + \|\overrightarrow{CA}\|^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2 = 27.
Substituindo na expressão expandida, chamando
S = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB},
temos
27 + 2S = 0.

Passo 4

Isolando S, obtemos
2S = -27 \quad\Longrightarrow\quad S = -\frac{27}{2}.

Resposta

-\frac{27}{2}

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