Encontre uma parametrização para a reta que é paralela ao vetor \vec{v}=(3,4) e contém o ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização de uma reta em \mathbb{R}^2 que seja paralela ao vetor \vec{v}=(3,4) e contenha o ponto (1,1). O conteúdo é geometria analítica de parametrização de retas, usando um ponto sobre a reta e um vetor diretor.

Passo 2

A forma vetorial geral de uma reta com ponto \mathbf{r}_0 e vetor diretor \mathbf{d} é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\,\mathbf{d}
com t\in\mathbb{R}. Isso permite descrever qualquer ponto da reta somando ao ponto inicial múltiplos do vetor direção.

Passo 3

Substituindo o ponto inicial \mathbf{r}_0=(1,1) e o vetor direção \mathbf{d}=(3,4) obtém-se
\mathbf{r}(t)=(1,1)+t\,(3,4)=(1+3t,1+4t)
para t\in\mathbb{R}, que é a parametrização desejada.

Resposta

\mathbf{r}(t) = (1+3t,\,1+4t),\quad t\in\mathbb{R}.

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