Pesquise sobre os seguintes tópicos abaixo que tratam da topologia do \mathbb{R}^{n} :
(a) Conjuntos abertos;

Passo 1

Vamos primeiro lembrar o ambiente em que estamos trabalhando, que é o espaço euclidiano \mathbb{R}^n, equipado com a norma e a distância padrão. A norma de um vetor x=(x_1,\dots,x_n) é
\|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2},
e a distância entre dois pontos x,y\in\mathbb{R}^n é
d(x,y) = \|x - y\|.
Com essa distância definida, podemos falar em “bola aberta” em torno de um ponto, que será o bloco básico para entender conjuntos abertos.

Passo 2

Definição de bola aberta e de conjunto aberto
1. Para um ponto a\in\mathbb{R}^n e um raio \varepsilon>0, a bola aberta centrada em a com raio \varepsilon é
B(a,\varepsilon) = \{\,x\in\mathbb{R}^n \mid d(x,a) < \varepsilon\}.
2. Um conjunto U\subseteq\mathbb{R}^n é chamado de aberto se, para todo ponto x\in U, existe algum \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)\subseteq U.
Em outras palavras, em cada ponto de U podemos “encaixar” alguma bola totalmente contida em U.

Passo 3

Propriedades básicas dos conjuntos abertos em \mathbb{R}^n
1. A união arbitrária de abertos é aberta.
Se \{U_i\}_{i\in I} é qualquer família de conjuntos abertos, então
\bigcup_{i\in I} U_i
é aberta, pois em cada ponto você pertence a algum U_{i_0} e aí herda o raio de bola que cabe em U_{i_0}.
2. A interseção finita de abertos é aberta.
Se U_1,\dots,U_k são abertos, então
U_1\cap \cdots \cap U_k
é aberto, pois em cada ponto podemos tomar o mínimo dos raios das bolas em cada U_j.
3. Exemplos típicos de conjuntos abertos:
  • A própria \mathbb{R}^n e o conjunto vazio \varnothing.
  • Qualquer bola aberta B(a,\varepsilon).
  • Retângulos abertos do tipo \{x\mid a_i < x_i < b_i,\\ i=1,\dots,n\}.
    4. Condição de base da topologia: as bolas abertas formam uma base para a topologia de \mathbb{R}^n, pois todo aberto é união de bolas abertas.

Passo 4

Intuição e contexto
Conjuntos abertos são justamente aqueles em que não há “pontos de fronteira” incluídos — toda vez que você escolhe um ponto do conjunto, dá para andar um pouquinho em qualquer direção sem sair dele. Esse conceito é fundamental para definir continuidade, convergência de sequências e muitas outras noções em análise e geometria.

Resposta

Um conjunto U\subseteq\mathbb{R}^n é aberto se, para todo ponto x\in U, existe \varepsilon>0 tal que a bola
B(x,\varepsilon) = \{\,y\in\mathbb{R}^n \mid \|y-x\|<\varepsilon\}
fica inteiramente dentro de U. As uniões arbitrárias de abertos e as interseções finitas de abertos também são abertas, e as bolas abertas formam uma base para essa topologia.

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