Pesquise sobre os seguintes tópicos abaixo que tratam da topologia do
:
(a) Conjuntos abertos;
(a) Conjuntos abertos;
Passo 1
Vamos primeiro lembrar o ambiente em que estamos trabalhando, que é o espaço euclidiano
, equipado com a norma e a distância padrão. A norma de um vetor
é
e a distância entre dois pontos
é
Com essa distância definida, podemos falar em “bola aberta” em torno de um ponto, que será o bloco básico para entender conjuntos abertos.
Passo 2
Definição de bola aberta e de conjunto aberto
1. Para um ponto e um raio
, a bola aberta centrada em
com raio
é
1. Para um ponto
2. Um conjunto
é chamado de aberto se, para todo ponto
, existe algum
tal que
Em outras palavras, em cada ponto de
podemos “encaixar” alguma bola totalmente contida em
.
Passo 3
Propriedades básicas dos conjuntos abertos em
1. A união arbitrária de abertos é aberta.
Se é qualquer família de conjuntos abertos, então
1. A união arbitrária de abertos é aberta.
Se
é aberta, pois em cada ponto você pertence a algum
e aí herda o raio de bola que cabe em
.
2. A interseção finita de abertos é aberta.
Se são abertos, então
2. A interseção finita de abertos é aberta.
Se
é aberto, pois em cada ponto podemos tomar o mínimo dos raios das bolas em cada
.
3. Exemplos típicos de conjuntos abertos:
3. Exemplos típicos de conjuntos abertos:
- A própria
e o conjunto vazio . - Qualquer bola aberta
. - Retângulos abertos do tipo
.
4. Condição de base da topologia: as bolas abertas formam uma base para a topologia de, pois todo aberto é união de bolas abertas.
Passo 4
Intuição e contexto
Conjuntos abertos são justamente aqueles em que não há “pontos de fronteira” incluídos — toda vez que você escolhe um ponto do conjunto, dá para andar um pouquinho em qualquer direção sem sair dele. Esse conceito é fundamental para definir continuidade, convergência de sequências e muitas outras noções em análise e geometria.
Conjuntos abertos são justamente aqueles em que não há “pontos de fronteira” incluídos — toda vez que você escolhe um ponto do conjunto, dá para andar um pouquinho em qualquer direção sem sair dele. Esse conceito é fundamental para definir continuidade, convergência de sequências e muitas outras noções em análise e geometria.
Resposta
Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que a bola
fica inteiramente dentro de
. As uniões arbitrárias de abertos e as interseções finitas de abertos também são abertas, e as bolas abertas formam uma base para essa topologia.