Pesquise sobre os seguintes tópicos abaixo que tratam da topologia do \mathbb{R}^{n} :
(d) Fecho de um conjunto;
Passo 1
O que queremos aqui é entender o conceito de fecho (ou fechamento) de um conjunto A\subset\mathbb{R}^n. Para isso, vamos usar os conceitos de conjuntos fechados, vizinhanças (bolas abertas) e pontos de acumulação.
Passo 2
Definição clássica: o fecho de A, denotado por \overline{A}, é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm A. Em symbols:
\overline{A} \;=\; \bigcap_{\substack{C\subset\mathbb{R}^n \\\ C \text{ fechado},\,A\subset C}} C.
Por construção, \overline{A} é fechado e é o menor fechado que contém A.
Passo 3
Definição via vizinhanças: um ponto x\in\mathbb{R}^n pertence a \overline{A} se e somente se toda bola aberta centrada em x intercepta A. Ou seja,
Fecho de união finita: \overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}.
Exemplo típico: se A = B(x_0,r) (bola aberta), então \overline{A} = \overline{B(x_0,r)} é a bola fechada de centro x_0 e raio r. Outro exemplo em \mathbb{R}: \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}.