Pesquise sobre os seguintes tópicos abaixo que tratam da topologia do \mathbb{R}^{n} :
(d) Fecho de um conjunto;

Passo 1

O que queremos aqui é entender o conceito de fecho (ou fechamento) de um conjunto A\subset\mathbb{R}^n. Para isso, vamos usar os conceitos de conjuntos fechados, vizinhanças (bolas abertas) e pontos de acumulação.

Passo 2

Definição clássica: o fecho de A, denotado por \overline{A}, é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm A. Em symbols:
\overline{A} \;=\; \bigcap_{\substack{C\subset\mathbb{R}^n \\\ C \text{ fechado},\,A\subset C}} C.
Por construção, \overline{A} é fechado e é o menor fechado que contém A.

Passo 3

Definição via vizinhanças: um ponto x\in\mathbb{R}^n pertence a \overline{A} se e somente se toda bola aberta centrada em x intercepta A. Ou seja,
x\in\overline{A} \quad\Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0,\;B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing.

Passo 4

Caracterização por pontos de acumulação: seja A' o conjunto de todos os pontos de acumulação (ou aderência) de A. Então
\overline{A} \;=\; A \;\cup\; A',
onde
A'=\{\,x\mid \forall\varepsilon>0,\,(B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing\}.

Passo 5

Principais propriedades do fecho em \mathbb{R}^n:
  1. \overline{A} é fechado e A\subset\overline{A}.
  2. Monotonicidade: se A\subset B então \overline{A}\subset\overline{B}.
  3. Idempotência: \overline{\overline{A}}=\overline{A}.
  4. Fecho de união finita: \overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}.
  5. Exemplo típico: se A = B(x_0,r) (bola aberta), então \overline{A} = \overline{B(x_0,r)} é a bola fechada de centro x_0 e raio r. Outro exemplo em \mathbb{R}: \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}.

Resposta

O fecho de A\subset\mathbb{R}^n é
\overline{A} = \bigcap_{\substack{C\subset\mathbb{R}^n \\\ C\text{ fechado},\,A\subset C}}C = \{\,x\in\mathbb{R}^n \mid \forall\varepsilon>0,\;B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing\} = A\cup A'.

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