Encontre uma parametrização da superficie.
Cilindro parabólico entre planos A superficie cortada do cilindro parabólico z=4-y^{2} pelos planos x=0, x=2 \mathrm{e} z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície definida por
z = 4 - y^{2}
limitada pelos planos x=0, x=2 e z=0.
O conteúdo aqui é parametrização de superfície: vamos mapear um retângulo no plano de parâmetros (u,v) para nessa superfície.

Passo 2

Identificamos que podemos usar
u = x, \quad v = y,
de modo que x varia de 0 a 2 e, como z\ge0 implica 4 - y^2\ge0, temos -2\le y\le2.
Logo o domínio dos parâmetros é
0 \le u \le 2, \quad -2 \le v \le 2.

Passo 3

Basta agora escrever o vetor posição em função de (u,v). Como z=4-v^{2}, definimos
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;v,\;4 - v^{2}\bigr),
que efetivamente leva cada (u,v) do retângulo ao ponto correspondente na superfície.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \langle u,\,v,\,4 - v^{2}\rangle, \quad 0 \le u \le 2,\; -2 \le v \le 2.

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