Encontre uma parametrização da superficie.
O paraboloide z=9-x^{2}-y^{2}, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície dada por
z = 9 - x^{2} - y^{2},\quad z\ge0.
Estamos estudando parametrização de superfícies do tipo z = f(x,y) sobre uma região D no plano xy.

Passo 2

Para uma superfície definida por z=f(x,y) sobre um domínio D\subset\mathbb{R}^2, uma parametrização natural é
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\,v,\,f(u,v)\bigr),
onde (u,v)\in D. No nosso caso, D é o disco
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9\}.

Passo 3

Para descrever o disco x^{2}+y^{2}\le9 de forma simples, usamos coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com
0 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na expressão de z, obtemos
z = 9 - r^{2}.
Logo, uma parametrização da superfície é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;9 - r^{2}\bigr),
com
0 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Resposta

\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;9 - r^{2}\bigr), \quad 0 \le r \le 3,\; 0 \le \theta \le 2\pi.

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