Encontre uma parametrização da superficie.
Faixa esférica A porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 entre os planos z=\sqrt{3} / 2 e z=-\sqrt{3} / 2.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3
situada entre os planos z=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e z=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
O conteúdo envolvido é parametrização de superfícies usando coordenadas esféricas, já que a superfície é parte de uma esfera de raio constante.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
\rho=\sqrt{3},\quad x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
Como z=\rho\cos\varphi, as restrições
z=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}
dão
\cos\varphi=\pm\tfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\pm\tfrac12,
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\varphi\in\bigl[\operatorname{arccos}\tfrac12,\;\operatorname{arccos}(-\tfrac12)\bigr] =\bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{2\pi}{3}\bigr].
O parâmetro \theta varia em [0,2\pi].

Passo 3

Substituindo \rho=\sqrt{3} e os intervalos de \varphi e \theta, obtemos a parametrização desejada:
\mathbf r(\varphi,\theta) =\bigl(\sqrt{3}\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\cos\varphi\bigr),
com
\varphi\in\bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{2\pi}{3}\bigr], \quad \theta\in[0,2\pi].

Resposta

\displaystyle\mathbf r(\varphi,\theta) =\bigl(\sqrt{3}\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\cos\varphi\bigr), \quad \varphi\in[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}],\;\theta\in[0,2\pi].

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