Encontre uma parametrização da superficie.
Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro x^{2}+z^{2}=4 acima do plano x y entre os planos y=-2 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície dada pelo cilindro x^2+z^2=4 restringida à parte acima do plano xy (ou seja z\ge0) e entre os planos y=-2 e y=2. O conteúdo é parametrização de superfícies usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para um cilindro de raio 2 em torno do eixo y, usamos um parâmetro u para o ângulo em torno desse eixo e v para a coordenada y. Assim, sem restrições, podemos escrever
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(2\cos u,\;v,\;2\sin u\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos as condições:
  • Acima do plano xy significa z\ge0, isto é \sin u\ge0, logo u\in[0,\pi].
  • Entre y=-2 e y=2 significa v\in[-2,2].

Resposta

\mathbf{r}(u,v)=\bigl(2\cos u,\;v,\;2\sin u\bigr), \quad 0\le u\le\pi,\\ \,-2\le v\le2.

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