Qual é a probabilidade de uma variável aleatória normal X com média \mu=5 e desvio padrão \sigma = 2 estar entre 8 e 12?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de uma variável aleatória contínua X seguir uma distribuição normal com média \mu=5 e desvio-padrão \sigma=2, isto é, X\sim N(5,2^2), e satisfazer 8\le X\le12. Para resolver, vamos usar o processo de padronização da distribuição normal e a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 2

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 5}{2},
onde Z\sim N(0,1). Assim, o evento 8\le X\le12 equivale a
8 \le X \le 12 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{8-5}{2} \le Z \le \frac{12-5}{2}.

Passo 3

Calculamos os limites em termos de Z:
z_1 = \frac{8-5}{2} = 1,5, \quad z_2 = \frac{12-5}{2} = 3,5.

Passo 4

A probabilidade buscada é
P(8\le X\le12) = P\bigl(1,5 \le Z \le 3,5\bigr) = \Phi(3,5) - \Phi(1,5),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 5

Usando valores tabelados ou calculadora:
\Phi(1,5)\approx0,93319, \quad \Phi(3,5)\approx0,99977.
Logo,
P(8\le X\le12) \approx 0,99977 - 0,93319 = 0,06658 \approx 0,0666.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,0666 (ou 6{,}66\%).

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