Encontre parametrizações suaves para as curvas a seguir
O círculo no plano x y centrado na origem e com raio 6 .

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização suave para o círculo de raio 6 centrado na origem do plano xy. Para isso vamos usar funções trigonométricas, de modo a obter uma aplicação
phicolon ItoR^2
que seja C^infty, que tenha imagem igual à circunferência de raio 6 e cujo vetor velocidade seja nunca nulo.

Passo 2

A parametrização mais comum e direta é usar o ângulo polar t. Definimos
phi(t) = l(6cos t,;6sin tr),
com domínio I=[0,2pi]. Essa curva percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Para verificar que phi é suave e regular, calculamos a derivada
phi'(t) = l(-6sin t,;6cos tr)
Como |phi'(t)| = raiz(-6sin t)^2 + (6cos t)^2 =6raizsin^2t+cos^2t=6>0 para todo t, temos que phi é C^infty e phi'(t)neq0, ou seja, é regular.

Passo 4

Se quisermos uma parametrização pelo comprimento de arco s, isto é, com velocidade unitária, basta substituir t = s/6. Definimos
psi(s) = l(6cos(s/6),;6sin(s/6)r),
com sin[0,12pi]. De fato,
psi'(s) = l(-6,sin(s/6)cdottfrac16,;6,cos(s/6)cdottfrac16r) = l(-sin(s/6),;cos(s/6)r),
e |psi'(s)|=1, garantindo velocidade constante igual a 1.

Resposta

As duas parametrizações suaves que podemos usar são:
(a) phi(t) = l(6cos t,;6sin tr),;tin[0,2pi]
(b) psi(s) = l(6cos(s/6),;6sin(s/6)r),;sin[0,12pi]

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