Encontre parametrizações suaves para as curvas a seguir
O círculo no plano
centrado na origem e com raio 6 .
O círculo no plano
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização suave para o círculo de raio 6 centrado na origem do plano
. Para isso vamos usar funções trigonométricas, de modo a obter uma aplicação
que seja , que tenha imagem igual à circunferência de raio 6 e cujo vetor velocidade seja nunca nulo.
que seja
Passo 2
A parametrização mais comum e direta é usar o ângulo polar
. Definimos
com domínio
. Essa curva percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Para verificar que
é suave e regular, calculamos a derivada
Como
para todo
, temos que
é
e
, ou seja, é regular.
Passo 4
Se quisermos uma parametrização pelo comprimento de arco
, isto é, com velocidade unitária, basta substituir
. Definimos
com
. De fato,
e
, garantindo velocidade constante igual a 1.
Resposta
As duas parametrizações suaves que podemos usar são:
(a)
(b)
(a)
(b)