Encontre parametrizações suaves para as curvas a seguir
A linha reta passando por (-3,2,1) e (4,0,5).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização suave da reta em R^3 que passa por P1 = (-3,2,1) e P2 = (4,0,5). Para isso usamos o fato de que toda reta pode ser escrita como
r(t) = P1 + t, v,
onde v é o vetor diretor e t varia em R.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor subtracting the two points:
v = P2 - P1 = (4 - (-3),,0 - 2,,5 - 1) = (7,,-2,,4)

Passo 3

Usando P1 e v, escolhemos
r(t) = (-3,2,1) + t,(7,-2,4), tin R
Em coordenadas componentes, isso dá
r(t) = l(-3 + 7t,;2 - 2t,;1 + 4tr)

Passo 4

Para ver que é suave, note que cada coordenada de r(t) é um polinômio em t. Logo r é de classe C^infty (derivadas de todas as ordens existem e são contínuas).

Resposta

Uma parametrização suave é
r(t) = (-3 + 7t,;2 - 2t,;1 + 4t), tin R
Como alternativa, se quisermos a porção de reta entre P1 e P2 para tin[0,1], podemos usar
r(t) = (1 - t),(-3,2,1) + t,(4,0,5), tin[0,1]

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