Encontre todas os números complexos z tais que:
z^4=i

Passo 1

O problema pede para achar todos os complexos z tais que z⁴ = i. O conteúdo envolvido é raízes de números complexos, usando a forma polar/exponencial e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever i na forma polar/exponencial. Como |i|=1 e o argumento principal de i é π/2 mais quaisquer voltas completas de 2π, temos:
i = e^i(tfracpi2 + 2pi m), minZ

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, as raízes quárticas de i são dadas por:
zk = e^ipi2 + 2pi m4 = e^i(pi8 + pi2m), m=0,1,2,3

Passo 4

Agora basta listar as quatro soluções para m=0,1,2,3. Assim obtemos:
z0 = e^ipi8, z1 = e^i5pi8, z2 = e^i9pi8, z3 = e^i13pi8

Passo 5

Se quiser em forma trigonométrica:
z0 = cospi8 + isinpi8, z1 = cos5pi8 + isin5pi8,
z2 = cos9pi8 + isin9pi8, z3 = cos13pi8 + isin13pi8
Essas são todas as quatro raízes de z⁴ = i.

Resposta

As soluções são:
z = e^ipi8, e^i5pi8, e^i9pi8, e^i13pi8

Exercícios relacionados