Encontre todas os números complexos
tais que:
Passo 1
O problema pede para achar todos os complexos z tais que z⁴ = i. O conteúdo envolvido é raízes de números complexos, usando a forma polar/exponencial e o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever i na forma polar/exponencial. Como |i|=1 e o argumento principal de i é π/2 mais quaisquer voltas completas de 2π, temos:
Passo 3
Pelo Teorema de De Moivre, as raízes quárticas de i são dadas por:
Passo 4
Agora basta listar as quatro soluções para m=0,1,2,3. Assim obtemos:
Passo 5
Se quiser em forma trigonométrica:
Essas são todas as quatro raízes de z⁴ = i.
Resposta
As soluções são: