Encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=sumn=0^infty(x y)^n (|x y|<1)

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de em relação a e a . Estamos lidando com séries infinitas e derivadas parciais, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar somar a série e depois derivar o resultado em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos somar a série infinita. A série dada é uma série geométrica onde cada termo é f(x, y) = sumn=0^infty(x y)^n = 11 - x y para |x y| < 1 . Lembra que a soma de uma série geométrica infinita é igual a quando . Aqui, , então podemos escrever:

Passo 3

Agora que temos partial fpartial x = partialpartial x ( 11 - x y ) = y(1 - x y)^2 , vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Para isso, vamos tratar como uma constante. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( 11 - x y ) = x(1 - x y)^2 em relação a . Aqui, vamos tratar como uma constante. A derivada de em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y(1 - x y)^2
e
partial fpartial y = x(1 - x y)^2

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