Encontre o que se pede para a parábola de vértice
e diretriz
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b) A área da região abaixo da curva e acima do eixo
com
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b) A área da região abaixo da curva e acima do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área da região que está abaixo da parábola e acima do eixo $ x $, no intervalo de $ x = -2 $ até $ x = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de parábolas e cálculo de área através de integrais. Primeiro, precisamos descobrir a equação da parábola com vértice em $ V(-2,3) $ e diretriz $ y = 2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes da diretriz e do foco. Sabemos que o vértice está no meio entre a diretriz e o foco. Como a diretriz é $ y = 2 $ e o vértice está em $ y = 3 $, a distância do vértice à diretriz é de 1 unidade para cima. Isso significa que o foco está 1 unidade para cima do vértice, ou seja, em $ y = 4 $.
Passo 3
Agora que sabemos o foco $ F(-2,4) $ e a diretriz $ y = 2 $, podemos usar a fórmula padrão da parábola vertical:
onde $ (h,k) $ é o vértice. A constante $ a $ está relacionada à distância entre o vértice e o foco. Como a distância é 1, temos $ a = \frac{1}{4p} $, onde $ p = 1 $. Assim, $ a = \frac{1}{4} $.
Passo 4
Substituindo os valores na equação padrão:
Essa é a equação da nossa parábola. Agora, vamos encontrar os pontos onde a parábola corta o eixo $ x $, ou seja, onde $ y = 0 $.
Passo 5
Para encontrar os zeros da função, igualamos $ y = 0 $:
Percebemos que não há solução real para essa equação, o que indica que a parábola não cruza o eixo $ x $. Isso significa que toda a região entre $ x = -2 $ e $ x = 1 $ está acima do eixo $ x $.
Passo 6
Como a parábola não corta o eixo $ x $ nesse intervalo, a área que queremos calcular é apenas a integral da função $ y $ de $ x = -2 $ a $ x = 1 $. Então, precisamos integrar:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, calculamos $ \int_{-2}^{1} 3,dx $:
Em seguida, calculamos $ \frac{1}{4} \int_{-2}^{1} (x + 2)^2,dx $:
Passo 8
Agora, somamos os dois resultados:
Resposta
A área da região abaixo da parábola e acima do eixo $ x $ entre $ x = -2 $ e $ x = 1 $ é $ 11,!25 $ unidades quadradas.