(2,5 pontos) Avalie as integrais:
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3 x+1\right)^{6}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função cujo integrando é \dfrac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3x+1\right)^{6}}. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=\frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3x+1\right)^{6}}.
Informações dadas no enunciado:
  • O integrando é \dfrac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3x+1\right)^{6}}.
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), portanto o resultado deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Observação útil (detectar padrão): muitas integrais onde aparece uma função racional com uma potência do polinômio no denominador são resolvidas por substituição quando o numerador é proporcional à derivada do polinômio do denominador. Vamos calcular a derivada do polinômio que está no denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
Repara que o numerador (x^{2}-1) aparece exatamente dentro dessa derivada, apenas multiplicado por 3. Isso indica que a substituição do tipo u= denominador é adequada.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = x^{3}-3x+1.
Então a diferencial du é
du = \bigl(3x^{2}-3\bigr)\,dx = 3(x^{2}-1)\,dx.
Isolando (x^{2}-1)\,dx obtemos
(x^{2}-1)\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Agora substituímos na integral:
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3x+1\right)^{6}}\,dx = \int \frac{1}{u^{6}}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{-6}\,du.

Passo 4

Integrar usando a regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-6, logo
\int u^{-6}\,du=\frac{u^{-5}}{-5}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que estava fora:
\frac{1}{3}\int u^{-6}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-5}}{-5}+C = -\frac{1}{15}\,u^{-5}+C.
Voltando à variável x (substituindo u=x^{3}-3x+1):
-\frac{1}{15}\,u^{-5}+C = -\frac{1}{15}\,\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{-5}+C.

Passo 5

Verificação rápida (derivação da resposta para checar): calcule a derivada de
F(x)=-\frac{1}{15}\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{-5}.
Pela regra da cadeia,
F'(x)=-\frac{1}{15}\cdot(-5)\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{-6}\cdot\bigl(3x^{2}-3\bigr).
Simplificando os fatores:
F'(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{-6}\cdot 3(x^{2}-1)=\frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3x+1\right)^{6}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{15}\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{-5}+C

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