(2,5 pontos) Avalie as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função cujo integrando é
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações dadas no enunciado:
- O integrando é
. - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), portanto o resultado deve conter a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Observação útil (detectar padrão): muitas integrais onde aparece uma função racional com uma potência do polinômio no denominador são resolvidas por substituição quando o numerador é proporcional à derivada do polinômio do denominador. Vamos calcular a derivada do polinômio que está no denominador:
Repara que o numerador
aparece exatamente dentro dessa derivada, apenas multiplicado por
. Isso indica que a substituição do tipo
denominador é adequada.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Então a diferencial
é
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral:
Passo 4
Integrar usando a regra da potência para primitiva: para
,
Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 5
Verificação rápida (derivação da resposta para checar): calcule a derivada de
Pela regra da cadeia,
Simplificando os fatores:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva encontrada está correta.