(2,5 pontos) Avalie as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A integranda é o polinômio
. - É uma integral indefinida, portanto a resposta deve conter a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que tornam a conta simples:
- Linearidade (soma): a integral da soma é a soma das integrais:
- Constante em fator: uma constante pode sair da integral:
onde
é constante.
Estas fórmulas significam que podemos integrar termo a termo o polinômio e multiplicar fora as constantes
e
.
Passo 3
O método principal aqui é a regra do poder (power rule) para primitiva de potências de
:
onde
é o expoente (número real) e
é a constante de integração. Exemplo rápido:
.
Passo 4
Aplicando a linearidade e a regra da constante, dividimos a integral original em três integrais mais simples:
Passo 5
Agora calculamos cada parcela usando a regra do poder:
- Para
(aqui ):
Multiplicando por
:
- Para
(aqui ):
Multiplicando por
:
- Para
(constante):
Somando os resultados (os
podem ser agrupados numa única constante
) obtemos
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): derivar a primitiva encontrada deve retornar a integranda. Calculemos a derivada de
:
que é exatamente a função dentro da integral. Portanto a primitiva está correta.