(2,5 pontos) Avalie as integrais:
\int\left(3 x^{2}+4 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral indefinida
\int\left(3 x^{2}+4 x+1\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é o polinômio \,3x^{2}+4x+1.
  • É uma integral indefinida, portanto a resposta deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que tornam a conta simples:
  1. Linearidade (soma): a integral da soma é a soma das integrais:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
  1. Constante em fator: uma constante pode sair da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante.
Estas fórmulas significam que podemos integrar termo a termo o polinômio e multiplicar fora as constantes 3 e 4.

Passo 3

O método principal aqui é a regra do poder (power rule) para primitiva de potências de x:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1,
onde n é o expoente (número real) e C é a constante de integração. Exemplo rápido: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplicando a linearidade e a regra da constante, dividimos a integral original em três integrais mais simples:
\int\left(3x^{2}+4x+1\right)\,dx =3\int x^{2}\,dx + 4\int x\,dx + \int 1\,dx.

Passo 5

Agora calculamos cada parcela usando a regra do poder:
  1. Para \int x^{2}\,dx (aqui n=2):
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_1.
Multiplicando por 3:
3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}.
  1. Para \int x\,dx (aqui n=1):
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_2.
Multiplicando por 4:
4\int x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}.
  1. Para \int 1\,dx (constante):
\int 1\,dx = x + C_3.
Somando os resultados (os C_1,C_2,C_3 podem ser agrupados numa única constante C) obtemos
x^{3}+2x^{2}+x + C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): derivar a primitiva encontrada deve retornar a integranda. Calculemos a derivada de \,x^{3}+2x^{2}+x+C:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}+2x^{2}+x+C\big)=3x^{2}+4x+1,
que é exatamente a função dentro da integral. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x^{3}+2x^{2}+x+C

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