Seja
Obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá as relações
e pede para obter as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável dependente é
, que depende de e através de . - As variáveis
e estão expressas em coordenadas polares: e . - Queremos as derivadas parciais de
em relação a e a , tratando como função composta .
Passo 2
Explicar a regra básica que será usada: a regra da cadeia para funções compostas.
Se com
, então primeiro usamos a derivada de
em relação ao argumento
:
Se
Aqui
representa
. Em seguida aplicamos a regra da cadeia:
onde
e
.
Passo 3
Definir explicitamente
em função de
e
. Pelo enunciado,
Substituindo
e
obtemos
É útil também a identidade de ângulo duplo
, portanto alternativamente
Passo 4
Calcular
.
Aqui é tratado como constante ao derivar em relação a
(porque
é mantido fixo). Aplicando a regra da potência:
Aqui
Usando a identidade de ângulo duplo esse resultado pode ser escrito como
Passo 5
Agora montamos
usando a regra da cadeia explicada no Passo 2. Lembrando que
, temos
Substituindo
e
:
Opcionalmente, escrevendo
e
, obtemos a forma alternativa
Passo 6
Calcular
.
Aqui é constante ao derivar em relação a
. Aplicando a regra do produto (ou derivando a combinação
):
Aqui
Portanto
Passo 7
Montar
pela regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Usando a forma com
no denominador (opcional):
Passo 8
Resumo e observações rápidas (úteis para a prova):
- A ideia principal foi usar que
com e aplicar a regra da cadeia: derivada de multiplicada pela derivada do argumento. - Para calcular as derivadas parciais de
em relação a e aplicou-se regra de potência e regra do produto, e as identidades de ângulo duplo ajudaram a simplificar. - Lembrar que o denominador
exige (domínio de ), isto é , mas a derivação formal das parciais é essa acima enquanto estivermos no domínio.