Seja
z=\arcsin (x y), x=r \cos \theta, y=r \sin \theta
Obtenha z_{r} \mathrm{e} z_{\theta}.

Passo 1

O enunciado dá as relações
z=\arcsin(xy),\qquad x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta
e pede para obter as derivadas parciais \,z_{r}\, e \,z_{\theta}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável dependente é z, que depende de x e y através de z=\arcsin(xy).
  • As variáveis x e y estão expressas em coordenadas polares: x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • Queremos as derivadas parciais de z em relação a r e a \theta, tratando z como função composta z(r,\theta)=\arcsin\big(x(r,\theta)\,y(r,\theta)\big).

Passo 2

Explicar a regra básica que será usada: a regra da cadeia para funções compostas.
Se z=\arcsin(u) com u=u(r,\theta), então primeiro usamos a derivada de \arcsin em relação ao argumento u:
\frac{d}{du}\big(\arcsin u\big)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Aqui u representa xy. Em seguida aplicamos a regra da cadeia:
z_{r}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot u_{r},\qquad z_{\theta}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot u_{\theta},
onde u_{r}=\partial u/\partial r e u_{\theta}=\partial u/\partial\theta.

Passo 3

Definir explicitamente u em função de r e \theta. Pelo enunciado,
u(x,y)=xy.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtemos
u(r,\theta)=xy=(r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
É útil também a identidade de ângulo duplo \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), portanto alternativamente
u(r,\theta)=\tfrac{r^{2}}{2}\sin(2\theta).

Passo 4

Calcular u_{r}=\dfrac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big).
Aqui \cos\theta\sin\theta é tratado como constante ao derivar em relação a r (porque \theta é mantido fixo). Aplicando a regra da potência:
u_{r}=2r\cos\theta\sin\theta.
Usando a identidade de ângulo duplo esse resultado pode ser escrito como
u_{r}=2r\cdot\frac{1}{2}\sin(2\theta)=r\sin(2\theta).

Passo 5

Agora montamos z_{r} usando a regra da cadeia explicada no Passo 2. Lembrando que u=xy=r^{2}\cos\theta\sin\theta, temos
z_{r}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,u_{r}.
Substituindo u e u_{r}:
z_{r}=\frac{r\sin(2\theta)}{\sqrt{1-\big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big)^{2}}}.
Opcionalmente, escrevendo \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) e \big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big)^{2}=\tfrac{r^{4}}{4}\sin^{2}(2\theta), obtemos a forma alternativa
z_{r}=\frac{r\sin(2\theta)}{\sqrt{1-\dfrac{r^{4}}{4}\sin^{2}(2\theta)}}.

Passo 6

Calcular u_{\theta}=\dfrac{\partial}{\partial\theta}\big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big).
Aqui r^{2} é constante ao derivar em relação a \theta. Aplicando a regra do produto (ou derivando a combinação \cos\theta\sin\theta):
\frac{d}{d\theta}\big(\cos\theta\sin\theta\big)=(-\sin\theta)\sin\theta+\cos\theta\cos\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos(2\theta).
Portanto
u_{\theta}=r^{2}\cos(2\theta).

Passo 7

Montar z_{\theta} pela regra da cadeia:
z_{\theta}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,u_{\theta}.
Substituindo u e u_{\theta}:
z_{\theta}=\frac{r^{2}\cos(2\theta)}{\sqrt{1-\big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big)^{2}}}.
Usando a forma com \sin(2\theta) no denominador (opcional):
z_{\theta}=\frac{r^{2}\cos(2\theta)}{\sqrt{1-\dfrac{r^{4}}{4}\sin^{2}(2\theta)}}.

Passo 8

Resumo e observações rápidas (úteis para a prova):
  • A ideia principal foi usar que z=\arcsin(u) com u=xy e aplicar a regra da cadeia: derivada de \arcsin multiplicada pela derivada do argumento.
  • Para calcular as derivadas parciais de u em relação a r e \theta aplicou-se regra de potência e regra do produto, e as identidades de ângulo duplo ajudaram a simplificar.
  • Lembrar que o denominador \sqrt{1-u^{2}} exige |u|<1 (domínio de \arcsin), isto é |r^{2}\cos\theta\sin\theta|<1, mas a derivação formal das parciais é essa acima enquanto estivermos no domínio.

Resposta

z_{r}=\frac{r\sin(2\theta)}{\sqrt{1-\big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big)^{2}}}
z_{\theta}=\frac{r^{2}\cos(2\theta)}{\sqrt{1-\big(r^{2}\cos\theta\sin\theta\big)^{2}}}

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