Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes. C=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]
os autovalores (com suas multiplicidades, se for o caso);
os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Informações relevantes que temos do enunciado:
C é uma matriz 2\times2.
Os elementos da primeira linha são -1 e 2.
Os elementos da segunda linha são 0 e -1.]
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
O polinômio característico de uma matriz A é dado por \det(A-\lambda I), onde \lambda é a variável do polinômio e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = ad - bc.
Aqui: a,b,c,d são os elementos da matriz; \lambda é o parâmetro do polinômio; I é a matriz identidade.
Aplicando isso a C:
primeiro calculemos C-\lambda I:
obtemos a equação da primeira linha 0\cdot x + 2\cdot y = 0, ou seja y=0. A segunda linha dá 0=0 (sem informação adicional). Assim x é livre (qualquer valor) e y=0.
Portanto os vetores próprios (autovetores) associados a \lambda=-1 são todos os vetores da forma
O espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1), menor que a multiplicidade algébrica 2; isso significa que C não é diagonalizável (apenas informação adicional caso seja útil na prova).]