Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes.
C=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede três coisas:
  • o polinômio característico de C;
  • os autovalores (com suas multiplicidades, se for o caso);
  • os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • C é uma matriz 2\times2.
  • Os elementos da primeira linha são -1 e 2.
  • Os elementos da segunda linha são 0 e -1.]

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • O polinômio característico de uma matriz A é dado por \det(A-\lambda I), onde \lambda é a variável do polinômio e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.
  • Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = ad - bc.
Aqui: a,b,c,d são os elementos da matriz; \lambda é o parâmetro do polinômio; I é a matriz identidade.
Aplicando isso a C:
primeiro calculemos C-\lambda I:
C-\lambda I=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2\\[4pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora o determinante (polinômio característico):
p(\lambda)=\det(C-\lambda I)=(-1-\lambda)(-1-\lambda)-0\cdot 2 =(-1-\lambda)^2.
Reescrevendo de forma mais habitual:
p(\lambda)=(\lambda+1)^2=\lambda^2+2\lambda+1.

Passo 4

Autovalores: são as raízes do polinômio característico p(\lambda)=0. Como
p(\lambda)=(\lambda+1)^2,
a única raiz é \lambda=-1, com multiplicidade algébrica 2 (ou seja, é um autovalor duplo).

Passo 5

Autovetores: para \lambda=-1 resolvemos (C-\lambda I)v=0, isto é (C+I)v=0.
Calcule C+I:
C+I=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema
\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}
obtemos a equação da primeira linha 0\cdot x + 2\cdot y = 0, ou seja y=0. A segunda linha dá 0=0 (sem informação adicional). Assim x é livre (qualquer valor) e y=0.
Portanto os vetores próprios (autovetores) associados a \lambda=-1 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}, \qquad x\neq 0.
O espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1), menor que a multiplicidade algébrica 2; isso significa que C não é diagonalizável (apenas informação adicional caso seja útil na prova).]

Resposta

p(\lambda)=(\lambda+1)^2=\lambda^2+2\lambda+1
\text{Autovalor: }\lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2)
\text{Autovetores: }v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ t\neq0]

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