Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
E=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: fatorar a matriz E como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal e P é invertível.
Informações fornecidas (peguei estes números diretamente do enunciado):
E=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Portanto, o objetivo final é fornecer uma matriz diagonal D, uma matriz invertível P e a inversa P^{-1} tais que E = P\,D\,P^{-1}.]

Passo 2

Noções básicas que vamos usar (mini-aula): eigenvalores e eigenvetores.
  • Um vetor não-nulo v é um autovetor de uma matriz A se existe um escalar \lambda tal que
A v = \lambda v.
O escalar \lambda é chamado autovalor (ou eigenvalor) associado a v.
  • Para encontrar autovalores, resolve-se a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
  • Observação prática muito útil: se A é triangular (superior ou inferior), então os autovalores de A são exatamente os elementos da diagonal principal. Aqui E é triangular superior; portanto os autovalores são as entradas diagonais de E.
Aplicando isso ao nosso caso: os autovalores de E são
\lambda_1 = 2,\qquad \lambda_2 = 1,\qquad \lambda_3 = -1.

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores correspondentes, um por um, resolvendo [(E-\lambda I)v=0). Vou explicar cada equação do sistema e escolher valores convenientes para obter vetores fáceis de manipular.
Para \lambda_1=2:
E-2I=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, o sistema (E-2I)v=0 dá as equações:
\begin{cases} 2y + z = 0,\\[4pt] - y + 2z = 0,\\[4pt] -3z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem z=0\]. Substituindo nas anteriores obtemos \[y=0. A primeira equação não envolve x, logo x é livre; escolhemos x=1 para um vetor simples. Assim um autovetor associado a \lambda_1=2 é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=1:
E-I=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & -2\end{pmatrix}.
O sistema (E-I)v=0 dá:
\begin{cases} x + 2y + z = 0,\\[4pt] 2z = 0,\\[4pt] -2z = 0. \end{cases}
Da segunda/terceira equações vem z=0\]. Então a primeira reduz a \[x + 2y = 0, isto é x = -2y. Escolhendo y=1 (escolha conveniente), obtemos o autovetor
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_3=-1:
E - (-1)I = E+I=\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
O sistema (E+I)v=0 dá:
\begin{cases} 3x + 2y + z = 0,\\[4pt] 2y + 2z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação temos y + z = 0\], ou \(y = -z. Substituindo na primeira:
3x + 2(-z) + z = 3x - z = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x = z.
Escolhendo z=3 (para evitar frações) dá x=1 e y=-3. Assim um autovetor associado a \lambda_3=-1 é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\[4pt] -3\\[4pt] 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formamos a matriz P com os autovetores como colunas, na mesma ordem dos autovalores escolhidos (2,1,-1). A matriz diagonal D terá esses autovalores na diagonal, na mesma ordem:
P=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 3\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Observação: P é triangular superior com diagonal 1,1,3, portanto \det P = 3 \neq 0 e P é invertível.]

Passo 5

Vamos calcular P^{-1}. Por ser P triangular superior, P^{-1} também será triangular superior; uma maneira prática é resolver P x = e_j para cada coluna j (back-substitution). Faço isso coluna a coluna:
Para e_1=(1,0,0)^T, resolver P x = e_1 x^{(1)}=(1,0,0)^T.
Para e_2=(0,1,0)^T, resolver P x = e_2 x^{(2)}=(2,1,0)^T.
Para e_3=(0,0,1)^T, resolver P x = e_3 x^{(3)}=\bigl(\tfrac{5}{3},1,\tfrac{1}{3}\bigr)^T.
Assim
P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \tfrac{5}{3} \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (mini-checagem): como verificação parcial, multiplicando P por P^{-1} obtém-se a identidade (confere-se a construção da inversa), e calcular P D P^{-1} recupera E. Por exemplo, P D =
\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & -3\end{pmatrix},
e então (P D)P^{-1} = E (a multiplicação completa confere com os elementos de E dados). Isso confirma que a fatoração está correta.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 3\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & \dfrac{5}{3} \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}

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