Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
C=\left[\begin{array}{ll}2 & -8 \\\\ 1 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\begin{pmatrix}2 & -8\\[4pt] 1 & -4\end{pmatrix}
e pede para fatorá‑la como um produto P\,D\,P^{-1}, onde D é uma matriz diagonal e P é invertível.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz C é 2\times2.
  • Deve ser encontrada uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que C=PDP^{-1}.]

Passo 2

O que significa diagonalizar uma matriz (explicação didática):
Diagonalizar C significa encontrar um sistema de vetores linearmente independentes v (colunas de P) e escalares \lambda (valores na diagonal de D) tais que
C v = \lambda v.
Cada par (\lambda,v) é chamado de autovalor (eigenvalue) e autovetor (eigenvector). Para encontrá‑los, resolvemos o polinômio característico dado por
\det(C-\lambda I)=0,
onde I é a identidade 2\times2. Esse determinante é um polinômio em \lambda cujas raízes são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolvemos (C-\lambda I)v=0 para obter um autovetor v. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes, formamos P com esses autovetores como colunas e D com os autovalores correspondentes na diagonal.

Passo 3

Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevemos C-\lambda I:
C-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -8\\[4pt] 1 & -4-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(C-\lambda I)=(2-\lambda)(-4-\lambda)-(-8)\cdot 1.
Vamos desenvolver passo a passo:
(2-\lambda)(-4-\lambda)=2\cdot(-4-\lambda)-\lambda\cdot(-4-\lambda)=-8-2\lambda+4\lambda+\lambda^2=\lambda^2+2\lambda-8.
Somando o +8 vindo de -(-8) obtemos
\det(C-\lambda I)=\lambda^2+2\lambda-8+8=\lambda^2+2\lambda.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2+2\lambda=\lambda(\lambda+2).]

Passo 4

Encontrar os autovalores: as raízes de \lambda(\lambda+2)=0 são
\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=-2.
Ou seja, existem dois autovalores distintos, o que já é um bom sinal de que a matriz é diagonalizável (para 2\times2, autovalores distintos implicam dois autovetores linearmente independentes).

Passo 5

Encontrar autovetores para \lambda_1=0\). Resolvemos \((C-0\cdot I)v=Cv=0\), isto é \[\begin{pmatrix}2 & -8\\[4pt] 1 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2x-8y=0,\\[4pt] x-4y=0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (a segunda é a primeira dividida por 2). Da segunda obtemos x=4y\]. Tomando \(y=1 (escolha conveniente), um autovetor associado a \lambda_1=0 é
v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar autovetores para \lambda_2=-2\). Resolvemos \((C-(-2)I)=(C+2I)v=0\), isto é \[\begin{pmatrix}4 & -8\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} 4x-8y=0,\\[4pt] x-2y=0. \end{cases}
Novamente as equações são equivalentes; da segunda x=2y\]. Tomando \(y=1, um autovetor associado a \lambda_2=-2 é
v_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificar a independência linear dos autovetores v_1 e v_2. Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
P=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det(P)=4\cdot 1 - 2\cdot 1=4-2=2\neq 0,
logo as colunas são linearmente independentes e P é invertível. Isso confirma que C é diagonalizável.]

Passo 8

Montar a matriz diagonal D. A ordem das colunas de P deve corresponder à ordem dos autovalores na diagonal de D. Como escolhemos v_1 (associado a \lambda_1=0) como primeira coluna e v_2 (associado a \lambda_2=-2) como segunda coluna, temos
D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 9

Calcular P^{-1}. Para uma matriz 2\times2 genérica P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(P)=ad-bc, vale
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=4, b=2, c=1, d=1 e já calculamos \det(P)=2. Logo
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 10

Verificação (opcional, mas útil para a prova): calcular PDP^{-1} e mostrar que dá C. Primeiro
PD=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -4\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix},
depois
PDP^{-1}=\begin{pmatrix}0 & -4\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -16\\[4pt] 2 & -8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -8\\[4pt] 1 & -4\end{pmatrix}=C.
Portanto a fatoração está correta.]

Resposta

C = P\,D\,P^{-1}\quad\text{com}\quad P=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix}.]

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