e pede para fatorá‑la como um produto P\,D\,P^{-1}, onde D é uma matriz diagonal e P é invertível.
Informações relevantes dadas:
A matriz C é 2\times2.
Deve ser encontrada uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que C=PDP^{-1}.]
Passo 2
O que significa diagonalizar uma matriz (explicação didática):
Diagonalizar C significa encontrar um sistema de vetores linearmente independentes v (colunas de P) e escalares \lambda (valores na diagonal de D) tais que
C v = \lambda v.
Cada par (\lambda,v) é chamado de autovalor (eigenvalue) e autovetor (eigenvector). Para encontrá‑los, resolvemos o polinômio característico dado por
\det(C-\lambda I)=0,
onde I é a identidade 2\times2. Esse determinante é um polinômio em \lambda cujas raízes são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolvemos (C-\lambda I)v=0 para obter um autovetor v. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes, formamos P com esses autovetores como colunas e D com os autovalores correspondentes na diagonal.
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevemos C-\lambda I:
Encontrar os autovalores: as raízes de \lambda(\lambda+2)=0 são
\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=-2.
Ou seja, existem dois autovalores distintos, o que já é um bom sinal de que a matriz é diagonalizável (para 2\times2, autovalores distintos implicam dois autovetores linearmente independentes).
Passo 5
Encontrar autovetores para \lambda_1=0\). Resolvemos \((C-0\cdot I)v=Cv=0\), isto é
\[\begin{pmatrix}2 & -8\\[4pt] 1 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2x-8y=0,\\[4pt] x-4y=0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (a segunda é a primeira dividida por 2). Da segunda obtemos x=4y\]. Tomando \(y=1 (escolha conveniente), um autovetor associado a \lambda_1=0 é
v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Encontrar autovetores para \lambda_2=-2\). Resolvemos \((C-(-2)I)=(C+2I)v=0\), isto é
\[\begin{pmatrix}4 & -8\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} 4x-8y=0,\\[4pt] x-2y=0. \end{cases}
Novamente as equações são equivalentes; da segunda x=2y\]. Tomando \(y=1, um autovetor associado a \lambda_2=-2 é
v_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Verificar a independência linear dos autovetores v_1 e v_2. Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
P=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det(P)=4\cdot 1 - 2\cdot 1=4-2=2\neq 0,
logo as colunas são linearmente independentes e P é invertível. Isso confirma que C é diagonalizável.]
Passo 8
Montar a matriz diagonal D. A ordem das colunas de P deve corresponder à ordem dos autovalores na diagonal de D. Como escolhemos v_1 (associado a \lambda_1=0) como primeira coluna e v_2 (associado a \lambda_2=-2) como segunda coluna, temos