Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P.
A=\left[\begin{array}{ll}-3 & 4 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz A é diagonalizável. Se for, devo determinar uma matriz inversível P que diagonalize A e calcular \;P^{-1}AP.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}-3 & 4 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
O que vou procurar: os autovalores de A (raízes do polinômio característico) e os autovetores associados. A matriz A é diagonalizável em \mathbb{R}^2 se e somente se existir um conjunto de 2 autovetores linearmente independentes (ou seja, a dimensão de cada espaço próprio somada dá 2). Se os autovalores forem distintos, a diagonalização é automática; se houver autovalor repetido, é preciso verificar a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes desse autovalor).]

Passo 2

Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
\chi_A(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\[4pt] -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(-3-\lambda)(1-\lambda)-4(-1).
Desenvolvendo:
\chi_A(\lambda)=(-3-\lambda)(1-\lambda)+4.]

Passo 3

Expandir e simplificar o polinômio:
\begin{aligned} \chi_A(\lambda)&=(-3)(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)+4\\[4pt] &=-3+3\lambda-\lambda+\lambda^2+4\\[4pt] &=\lambda^2+2\lambda+1. \end{aligned}
Reconhece-se um quadrado perfeito:
\chi_A(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+1=(\lambda+1)^2.
Portanto o único autovalor é \lambda=-1, com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 4

Agora encontrar o(s) autovetor(es) associados a \lambda=-1. Resolve-se (A-(-1)I)v=(A+I)v=0.
A+I=\begin{pmatrix}-3 & 4 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Queremos os vetores v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tais que
\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
As equações são
-2x+4y=0, \qquad -1x+2y=0.
Ambas são equivalentes (a segunda é metade da primeira). Da primeira obtemos -2x+4y=0\Rightarrow x=2y. Tomando y=1 (escolha conveniente), um autovetor é
v=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
O espaço próprio de \lambda=-1 é a reta gerada por \begin{pmatrix}2\\[4pt] 1\end{pmatrix}, portanto a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1.]

Passo 5

Comparar multiplicidades:
  • Multiplicidade algébrica de \lambda=-1: 2.
  • Multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes correspondentes): 1.
Como a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, não existem dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Logo não é possível formar uma matriz P invertível cujas colunas sejam autovetores de A. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A não é diagonalizável.

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