Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P. A=\left[\begin{array}{ll}-3 & 4 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz A é diagonalizável. Se for, devo determinar uma matriz inversível P que diagonalize A e calcular \;P^{-1}AP.
O que vou procurar: os autovalores de A (raízes do polinômio característico) e os autovetores associados. A matriz A é diagonalizável em \mathbb{R}^2 se e somente se existir um conjunto de 2 autovetores linearmente independentes (ou seja, a dimensão de cada espaço próprio somada dá 2). Se os autovalores forem distintos, a diagonalização é automática; se houver autovalor repetido, é preciso verificar a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes desse autovalor).]
Passo 2
Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Ambas são equivalentes (a segunda é metade da primeira). Da primeira obtemos -2x+4y=0\Rightarrow x=2y. Tomando y=1 (escolha conveniente), um autovetor é
v=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
O espaço próprio de \lambda=-1 é a reta gerada por \begin{pmatrix}2\\[4pt] 1\end{pmatrix}, portanto a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1.]
Passo 5
Comparar multiplicidades:
Multiplicidade algébrica de \lambda=-1: 2.
Multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes correspondentes): 1.
Como a multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, não existem dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Logo não é possível formar uma matriz P invertível cujas colunas sejam autovetores de A. Portanto A não é diagonalizável.