Das duas últimas equações obtém-se y=2z\] e também \(y=-4z. Essas duas condições só se satisfazem simultaneamente se z=0 e então y=0. As três equações não envolvem x (primeira coluna é zero), então x fica livre (qualquer valor serve, desde que o vetor não fique nulo). Logo os autovetores têm a forma
Como z\] não pode ser sempre zero (queremos autovetor não-nulo), isso exige
\[(3-\lambda)(-2-\lambda)-2=0,\]
que é exatamente a equação \(\lambda^2-\lambda-8=0 (logo consistente, pois \lambda é raiz desta). Assim z é parâmetro livre; escolho um valor prático para obter um autovetor simples. Tomando z=2-\lambda (escolha conveniente para simplificar denominadores), segue:
y=(-2-\lambda)z=(-2-\lambda)(2-\lambda).
Faço a multiplicação e uso a relação \lambda^2=\lambda+8 (vinda da quadrática) para simplificar: