Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes.
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O que o problema pede:
  • Encontrar o polinômio característico da matriz A.
  • Encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico).
  • Encontrar um autovetor não-nulo associado a cada autovalor.
O que o enunciado nos fornece:
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & -1 & -2\end{pmatrix}.
Observações úteis que usarei (sem ainda resolver):
  • O polinômio característico é \det(A-\lambda I).
  • Para achar autovetores, para cada autovalor \lambda resolve-se (A-\lambda I)v=0.
  • Aqui a matriz tem zeros na primeira coluna nas linhas 2 e 3; isso facilita o cálculo do determinante por expansão na primeira coluna.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & -2 \\[4pt] 0 & -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Como os elementos da primeira coluna nas linhas 2 e 3 são zero, a expansão pelo primeiro elemento da primeira coluna dá
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calcule o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-2-\lambda)-(-2)(-1).
Faço a multiplicação:
(3-\lambda)(-2-\lambda)=\lambda^2-\lambda-6,
e subtrai-se (-2)(-1)=2, então
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-\lambda-6-2=\lambda^2-\lambda-8.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\big(\lambda^2-\lambda-8\big).
(Se alguém prefere o polinômio com sinal invertido, note que \det(\lambda I-A)=-\det(A-\lambda I); aqui usei a forma padrão \det(A-\lambda I).)]

Passo 3

Determinar os autovalores: resolver \det(A-\lambda I)=0.
Temos
(2-\lambda)\big(\lambda^2-\lambda-8\big)=0.
Isto gera duas equações:
  1. 2-\lambda=0 que dá \lambda=2.
  2. \lambda^2-\lambda-8=0. Uso a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+32}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{33}}{2}.
Portanto os três autovalores são
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=\frac{1+\sqrt{33}}{2},\qquad \lambda_3=\frac{1-\sqrt{33}}{2}.
Como são distintos, cada um terá um espaço próprio (autovalores simples dão autovetores linearmente independentes).

Passo 4

Encontrar um autovetor para [\lambda_1=2).
Escrevo A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & -1 & -4\end{pmatrix}.
Quero resolver (A-2I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=0, i.e. o sistema
\begin{cases} -2y+3z=0,\\[4pt] y-2z=0,\\[4pt] -y-4z=0. \end{cases}
Das duas últimas equações obtém-se y=2z\] e também \(y=-4z. Essas duas condições só se satisfazem simultaneamente se z=0 e então y=0. As três equações não envolvem x (primeira coluna é zero), então x fica livre (qualquer valor serve, desde que o vetor não fique nulo). Logo os autovetores têm a forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad x\neq 0.
Escolho a forma canônica v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} como autovetor associado a \lambda_1=2.
Verificação rápida: A v_1 = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}=2 v_1.]

Passo 5

Encontrar autovetores para [\lambda_2=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}) e \lambda_3=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}.
Para um autovalor genérico \lambda (que aqui será uma das duas raízes da quadrática), escrevo o sistema (A-\lambda I)v=0 com v=(x,y,z)^T:
\begin{pmatrix}2-\lambda & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & -2 \\[4pt] 0 & -1 & -2-\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As duas últimas equações (linhas 2 e 3) envolvem somente y e z:
\begin{cases} (3-\lambda)y-2z=0,\\[4pt] -y+(-2-\lambda)z=0. \end{cases}
Da segunda obtemos
y=(-2-\lambda)z.
Substituindo na primeira:
(3-\lambda)(-2-\lambda)z-2z=0.
Como z\] não pode ser sempre zero (queremos autovetor não-nulo), isso exige \[(3-\lambda)(-2-\lambda)-2=0,\] que é exatamente a equação \(\lambda^2-\lambda-8=0 (logo consistente, pois \lambda é raiz desta). Assim z é parâmetro livre; escolho um valor prático para obter um autovetor simples. Tomando z=2-\lambda (escolha conveniente para simplificar denominadores), segue:
y=(-2-\lambda)z=(-2-\lambda)(2-\lambda).
Faço a multiplicação e uso a relação \lambda^2=\lambda+8 (vinda da quadrática) para simplificar:
(-2-\lambda)(2-\lambda)=\lambda^2-4=\lambda+8-4=\lambda+4.
Agora pela primeira equação do sistema (linha 1):
(2-\lambda)x-2y+3z=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2y-3z}{2-\lambda}.
Com as escolhas acima (e simplificações) obtemos, multiplicando convenientemente para evitar denominador, um autovetor proporcional a
v(\lambda)=\begin{pmatrix}-7-2\lambda\\[4pt] \lambda+4\\[4pt] 2-\lambda\end{pmatrix}.
(Isto foi obtido escolhendo z=2-\lambda e simplificando; qualquer múltiplo não nulo é autovetor.)
Agora substituo explicitamente os dois autovalores.
Para \lambda_2=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}:
\begin{aligned} x_2&=-7-2\lambda_2=-8-\sqrt{33},\\[4pt] y_2&=\lambda_2+4=\dfrac{9+\sqrt{33}}{2},\\[4pt] z_2&=2-\lambda_2=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}. \end{aligned}
Um autovetor correspondente (multiplicando por 2 para eliminar denominadores) é
v_2=\begin{pmatrix}-16-2\sqrt{33}\\[4pt] 9+\sqrt{33}\\[4pt] 3-\sqrt{33}\end{pmatrix}.
Para \lambda_3=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}:
\begin{aligned} x_3&=-7-2\lambda_3=-8+\sqrt{33},\\[4pt] y_3&=\lambda_3+4=\dfrac{9-\sqrt{33}}{2},\\[4pt] z_3&=2-\lambda_3=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}. \end{aligned}
Um autovetor correspondente (multiplicando por 2) é
v_3=\begin{pmatrix}-16+2\sqrt{33}\\[4pt] 9-\sqrt{33}\\[4pt] 3+\sqrt{33}\end{pmatrix}.
Esses vetores são não nulos e satisfazem (A-\lambda_i I)v_i=0. Como os autovalores são distintos, os três autovetores são linearmente independentes.]

Resposta

\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\big(\lambda^{2}-\lambda-8\big)
\lambda=2,\\ \lambda=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2},\\ \lambda=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}
autovetores: para \lambda=2; v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}
para \lambda=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}; v_2=\begin{pmatrix}-16-2\sqrt{33}\\[4pt]9+\sqrt{33}\\[4pt]3-\sqrt{33}\end{pmatrix}
para \lambda=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}; v_3=\begin{pmatrix}-16+2\sqrt{33}\\[4pt]9-\sqrt{33}\\[4pt]3+\sqrt{33}\end{pmatrix}]

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