(2 pt) Encontre T(x, y, z) onde T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é definida por T(1,2)=(3,-1,5) e T(0,1)=(2,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a fórmula de uma aplicação linear \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, conhecendo apenas \;T(1,2)=(3,-1,5)\; e \;T(0,1)=(2,1,-1).
O conteúdo que vamos usar é que, para uma aplicação linear, basta expressar um vetor genérico (x,y) como combinação linear de (1,2) e (0,1), e depois usar T\bigl(a\mathbf u+b\mathbf v\bigr)=a\,T(\mathbf u)+b\,T(\mathbf v).

Passo 2

Verificamos que \,(1,2) e \,(0,1) são linearmente independentes (determinante \begin{vmatrix}1&0\\\ 2&1\end{vmatrix}=1\neq0), logo formam base de \mathbb{R}^2.
Assim, dado (x,y)\in\mathbb{R}^2, existe única decomposição
(x,y)=a\,(1,2)+b\,(0,1).

Passo 3

Para encontrar a e b, igualamos componentes:
(a,2a+b)=(x,y) \quad\Longrightarrow\quad a=x, \quad 2a+b=y \;\Longrightarrow\; b=y-2x.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y) = T\bigl(a(1,2)+b(0,1)\bigr) = a\,T(1,2)+b\,T(0,1).
Substituindo a=x e b=y-2x:
T(x,y) = x\,(3,-1,5)+(y-2x)\,(2,1,-1).

Passo 5

Basta agora somar componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª comp.: }&3x+2(y-2x)=3x+2y-4x=-x+2y,\\\ \text{2ª comp.: }&-1\cdot x+1\cdot(y-2x)=-x+y-2x=-3x+y,\\\ \text{3ª comp.: }&5x+(-1)(y-2x)=5x-y+2x=7x-y. \end{aligned}ªªª

Resposta

T(x,y)=\bigl(-x+2y,\;-3x+y,\;7x-y\bigr).

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