. Explique, dentro da Teoria dos Conjuntos, como se definem os números naturais a partir do conjunto vazio. Escreva explicitamente as representações de
como conjuntos. Com sua explicação, diga o que significa a soma
nessa construção.
Passo 1
O enunciado nos pede que, dentro da Teoria dos Conjuntos, a gente construa os números naturais começando do conjunto vazio e usando a ideia de sucessor de Von Neumann. Depois precisamos escrever explicitamente as representações de
como conjuntos e, por fim, explicar o que significa a soma
nessa construção.
Passo 2
Definimos o número zero como o próprio conjunto vazio:
Isso faz sentido porque não há nenhum natural anterior a zero.
Passo 3
Para cada natural
, definimos seu sucessor
como
Em outras palavras, para obter o próximo número, a gente pega todo o conjunto que já representa
e adiciona nele o próprio
como elemento.
Passo 4
Aplicando essa regra de sucessor, construímos:
Aqui, em cada caso, o número aparece como o conjunto de todos os anteriores.
Passo 5
Para definir a soma entre naturais, usamos recursão em Peano:
Ou seja, somar um a
é tomar o sucessor de
.
Passo 6
No caso de
, aplicamos
E como
, a soma
é exatamente o sucessor de
, que é o número
.
Resposta
Na construção de Von Neumann,
significa “pegar o sucessor de 2”, ou seja,