. Explique, dentro da Teoria dos Conjuntos, como se definem os números naturais a partir do conjunto vazio. Escreva explicitamente as representações de 0,1,2,3,4 como conjuntos. Com sua explicação, diga o que significa a soma 2+1 nessa construção.

Passo 1

O enunciado nos pede que, dentro da Teoria dos Conjuntos, a gente construa os números naturais começando do conjunto vazio e usando a ideia de sucessor de Von Neumann. Depois precisamos escrever explicitamente as representações de 0,1,2,3,4 como conjuntos e, por fim, explicar o que significa a soma 2+1 nessa construção.

Passo 2

Definimos o número zero como o próprio conjunto vazio:
0 = \varnothing.
Isso faz sentido porque não há nenhum natural anterior a zero.

Passo 3

Para cada natural n, definimos seu sucessor S(n) como
S(n) = n \cup \{\,n\}.
Em outras palavras, para obter o próximo número, a gente pega todo o conjunto que já representa n e adiciona nele o próprio n como elemento.

Passo 4

Aplicando essa regra de sucessor, construímos:
1 = S(0) = 0 \cup \{0\} = \{\varnothing\},
2 = S(1) = 1 \cup \{1\} = \{\varnothing,\{\varnothing\}\},
3 = S(2) = 2 \cup \{2\} = \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},
4 = S(3) = 3 \cup \{3\} = \{0,1,2,3\}.
Aqui, em cada caso, o número aparece como o conjunto de todos os anteriores.

Passo 5

Para definir a soma entre naturais, usamos recursão em Peano:
a + 0 = a,
a + S(b) = S\bigl(a + b\bigr).
Ou seja, somar um a b é tomar o sucessor de a + (b-1).

Passo 6

No caso de 2 + 1, aplicamos
2 + 1 = 2 + S(0) = S\bigl(2 + 0\bigr) = S(2).
E como S(2)=3, a soma 2+1 é exatamente o sucessor de 2, que é o número 3.

Resposta

0= \varnothing 1= \{\varnothing\} 2= \{\varnothing,\{\varnothing\}\} 3= \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\} 4= {0,1,2,3})
Na construção de Von Neumann, 2+1 significa “pegar o sucessor de 2”, ou seja,
2 + 1 = S(2) = 3.

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