Suponha que A seja a matriz da transformação linear T. Sem escrever A, determine um autovalor de A e descreva seu autoespaço. Se T é a reflexão em relação a uma reta contendo a origem em R^2.

Passo 1

O enunciado diz que TcolonR^2toR^2 é a reflexão em relação a uma reta L que passa pela origem, e que A é a matriz de T. Queremos encontrar um autovalor de A sem calcular A e descrever o correspondente autoespaço. O conteúdo usado aqui é a teoria de autovalores e autovetores de reflexões lineares em R^2.

Passo 2

Em geral, uma reflexão em R^2 tem dois autovalores:
lambda=1, correspondendo aos vetores que ficam fixos (os que estão em L),
e lambda=-1, correspondendo aos vetores que são invertidos (os perpendiculares a L).

Passo 3

Escolhendo o autovalor lambda=1, seu autoespaço
E1 = vinR^2 mid T(v)=v
é exatamente o conjunto de vetores que não se movem sob a reflexão, ou seja, todos os vetores que pertencem à reta L. Logo, se u é um vetor não nulo em L,
E1 = spanu

Resposta

lambda=1, e seu autoespaço é a reta de reflexão L, isto é,
E1 = vinR^2 mid v está em L = spanu, á
onde u é qualquer vetor não nulo contido em L.

Exercícios relacionados