Suponha que
seja a matriz da transformação linear
. Sem escrever
, determine um autovalor de
e descreva seu autoespaço. Se
é a reflexão em relação a uma reta contendo a origem em
.
Passo 1
O enunciado diz que
é a reflexão em relação a uma reta
que passa pela origem, e que
é a matriz de
. Queremos encontrar um autovalor de
sem calcular
e descrever o correspondente autoespaço. O conteúdo usado aqui é a teoria de autovalores e autovetores de reflexões lineares em
.
Passo 2
Em geral, uma reflexão em
tem dois autovalores:
, correspondendo aos vetores que ficam fixos (os que estão em
),
e , correspondendo aos vetores que são invertidos (os perpendiculares a
).
e
Passo 3
Escolhendo o autovalor
, seu autoespaço
é exatamente o conjunto de vetores que não se movem sob a reflexão, ou seja, todos os vetores que pertencem à reta
. Logo, se
é um vetor não nulo em
,
Resposta
onde
é qualquer vetor não nulo contido em
.