Encontre o polinômio característico de cada matriz usando a expansão em cofatores ou a fórmula especial para deteminantes 3 times 3 aprendida nas notas de aula [Observação: Não é fácil calcular o polinômio característico de uma matriz 3 times 3 usando apenas as operações elementares, pois envolve a variável lambda.]
[rrr4 & 0 & -1 0 & 4 & -1 1 & 0 & 2]

Passo 1

Nós queremos achar o polinômio característico da matriz
A = 4 & 0 & -1 0 & 4 & -1 1 & 0 & 2
usando a definição
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir)
Para isso, vamos montar A-lambda I e depois calcular seu determinante por expansão em cofatores.

Passo 2

Primeiro escrevemos
A-lambda I = 4-lambda & 0 & -1 0 & 4-lambda & -1 1 & 0 & 2-lambda

Passo 3

Fazemos a expansão do determinante pela primeira linha:
det(A-lambda I) =(4-lambda),det4-lambda & -10 & 2-lambda -0cdot(cdots) +(-1),(-1)^1+3,det0 & 4-lambda1 & 0

Passo 4

Calculamos cada menor:
det4-lambda & -10 & 2-lambda =(4-lambda)(2-lambda),
det0 & 4-lambda1 & 0 =0cdot0 - 1cdot(4-lambda) = -,(4-lambda)
Substituindo na expansão:
det(A-lambda I) =(4-lambda),(4-lambda)(2-lambda) +(-1)cdot(+1)cdotl[-(4-lambda)r]
Ou seja,
det(A-lambda I) =(4-lambda)^2(2-lambda)+(4-lambda)

Passo 5

Fatoramos:
det(A-lambda I) =(4-lambda)l[(4-lambda)(2-lambda)+1r] =(4-lambda)l(lambda^2-6lambda+9r) =(4-lambda)(lambda-3)^2

Resposta

boxedchiA(lambda)=det(A-lambda I)=(4-lambda)(lambda-3)^2

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