Sejam A=[rrr0,5 & 0,2 & 0,3 0,3 & 0,8 & 0,3 0,2 & 0 & 0,4], v1=[l0,3 0,6 0,1], v2= [r1 -3 2], v3=[r-1 0 1] e w=[l1 1 1].
Para k=1,2, ldots defina xk=A^k x0, com x0 como no item anterior. Mostre que xk v1 quando k fica cada vez maior.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0,5 & 0,2 & 0,3 0,3 & 0,8 & 0,3 0,2 & 0 & 0,4
e os vetores
v1=(0,3,,0,6,,0,1)^T,
v2=(1,,-3,,2)^T,
v3=(-1,,0,,1)^T e
w=(1,,1,,1)^T.
Definimos xk = A^k x0, onde no item anterior tomou–se x0 como vetor de probabilidade uniforme
x0 = tfrac13w = (tfrac13,tfrac13,tfrac13)^T.
O objetivo é mostrar que
xktov1 quando ktoinfty.
O conteúdo principal é decomposição espectral da matriz A: achar autovalores lambdai, autovetores vi, escrever x0 na base de autovetores e usar que |lambdai|<1 para i=2,3.

Passo 2

Verificamos que v1,v2,v3 são autovetores de A e determinamos os autovalores:
A,v1 =0,5&0,2&0,30,3&0,8&0,30,2&0&0,4 0,30,60,1 =0,30,60,1 =1cdot v1,
logo lambda1=1.
A,v2 =dots =tfrac121-32 =0,5,v2, A,v3 =dots =0,2,v3
Assim lambda2=0,5 e lambda3=0,2.

Passo 3

Como lambda1,lambda2,lambda3 são distintos, v1,v2,v3 forma base de R^3. Note também que
|lambda2|=0,5<1 e |lambda3|=0,2<1,
enquanto lambda1=1.

Passo 4

Escrevemos x0=(tfrac13,tfrac13,tfrac13)^T como combinação linear da base de autovetores:
x0 =alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3
Resolvendo o sistema obtém-se alpha1=1, alpha2=tfrac445, alpha3=tfrac118.

Passo 5

Aplicando A^k em x0 e usando A^kvi=lambdai^kvi, vem
xk = A^kx0 =alpha1,1^kv1 +alpha2,(0,5)^kv2 +alpha3,(0,2)^kv3
Como (0,5)^kto0 e (0,2)^kto0 quando ktoinfty, resta
xktoalpha1v1=v1.

Resposta

xkv1 quando k tende a infinito.

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