Encontre o polinômio característico das seguintes transformações:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(x, y)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico da transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (x,y).
O conteúdo é polinômio característico de matriz de uma transformação linear. Para resolver, vamos representar T pela sua matriz na base canônica e em seguida calcular \det(A - \lambda I).

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a transformação identidade tem matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Formamos a matriz A - \lambda I:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0\\\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 4

O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,(1-\lambda) = (1-\lambda)^2.

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda) = (1-\lambda)^2.

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