Encontre o polinômio característico das seguintes transformações:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(y, x)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (y,x).
O conteúdo aqui é cálculo de polinômio característico: precisamos representar T por sua matriz na base canônica e usar a definição
p(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr).

Passo 2

Vamos encontrar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2\}.
Temos
T(e_1)=T(1,0)=(0,1)=e_2,
T(e_2)=T(0,1)=(1,0)=e_1.
Portanto, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Formamos a matriz A - \lambda I, onde I é a identidade 2\times2:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0\\\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1\\\\ 1 & -\lambda \end{pmatrix}.

Passo 4

O polinômio característico é
p(\lambda) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 1\\\\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - (1)(1) = \lambda^2 - 1.

Resposta

p(\lambda) = \lambda^2 - 1

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