Encontre o polinômio característico das seguintes transformações:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y, z)=(2 x, y+z, 5 x+z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (2x,\;y+z,\;5x+z)
e pede o polinômio característico. Para isso vamos usar a base canônica de \mathbb{R}^3 e montar a matriz de T, depois aplicar a definição
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)\,.

Passo 2

Em relação à base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) temos
T(e_1) = (2,0,5),\quad T(e_2) = (0,1,0),\quad T(e_3) = (0,1,1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[3pt] 5 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de \lambda I - A:
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & \lambda-1 & -1 \\[3pt] -5 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna tem zeros nos dois últimos elementos, expandimos pela primeira linha:
\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)\det \begin{pmatrix} \lambda-1 & -1 \\[3pt] 0 & \lambda-1 \end{pmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-1)^2.]

Resposta

O polinômio característico de T é
p(\lambda) = (\lambda-2)(\lambda-1)^2.

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