Encontre o polinômio característico das seguintes transformações:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad T(x, y, z, w)=(6 x, 6 y, 6 z, 6 w)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico da transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z,w) = (6x,6y,6z,6w).
O conteúdo aqui é autovalores e polinômio característico, que se obtém usando a definição
\chi_T(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde A é a matriz de T na base canônica e I é a matriz identidade.

Passo 2

Na base canônica, T envia cada coordenada em si mesma multiplicada por 6. Logo a matriz de T é
A = 6\,I_4 = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 6 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\chi_T(\lambda) = \det(A - \lambda I_4) = \det\bigl((6-\lambda)I_4\bigr) = (6-\lambda)^4.
Como geralmente escrevemos em função de \lambda, podemos também apresentar
\chi_T(\lambda) = (\lambda - 6)^4.

Resposta

\chi_T(\lambda) = (\lambda - 6)^4

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