Seja T=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 3\end{array}\right], encontre todos os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
T = \begin{pmatrix}1 & 4\\\ 2 & 3\end{pmatrix}
e pede todos os autovalores \lambda e correspondentes autovetores v. Para isso vamos usar o conceito de polinômio característico, que é
\det(T - \lambda I) = 0,
resolvendo depois (T - \lambda I)v = 0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det\bigl(T - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 4\\\ 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(3-\lambda) - 4\cdot 2.
Expandindo,
(1-\lambda)(3-\lambda) - 8 = 3 - \lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 8 = \lambda^2 - 4\lambda - 5.

Passo 3

Resolvemos \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para cada \lambda resolvemos (T - \lambda I)v=0.
Caso \lambda_1 = 5:
T - 5I = \begin{pmatrix}1-5 & 4\\\ 2 & 3-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 4\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
A equação -4x + 4y = 0 y = x.
Autovetores: v = \begin{pmatrix}x\x\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, x\neq0.
Caso \lambda_2 = -1:
T - (-1)I = T + I = \begin{pmatrix}1+1 & 4\\\ 2 & 3+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
A equação 2x + 4y = 0 y = -\tfrac12 x.
Autovetores: v = \begin{pmatrix}x\\\ -x/2\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}, x\neq0.

Resposta

Autovalores e autovetores de T:
\displaystyle \lambda_1 = 5, autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
\displaystyle \lambda_2 = -1, autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.

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