Escreva as equações das circunferências, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos (centro, raio).
Centro ( -2,1 ) e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência de centro (-2,1) e raio 5. Vamos usar geometria analítica no plano e a forma padrão da equação de uma circunferência.

Passo 2

A forma padrão de uma circunferência de centro (a,b) e raio r é
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
Substituindo a=-2, b=1 e r=5, obtemos
(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 5^2 \quad\Longrightarrow\quad (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25.

Passo 3

Para escrever na forma geral, expandimos os quadrados:
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5.
Como isso deve ser igual a 25, temos
x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20 = 0.

Passo 4

A partir das duas formas vemos que
- Centro: C(-2,1)
- Raio: r=5

Passo 5

Para esboçar o gráfico, plotamos o ponto C(-2,1) e desenhamos um círculo de raio 5. Os pontos cardeais na circunferência são
\text{direita: }(-2+5,\,1)=(3,1), \quad \text{esquerda: }(-2-5,\,1)=(-7,1),
\text{acima: }(-2,\,1+5)=(-2,6), \quad \text{abaixo: }(-2,\,1-5)=(-2,-4).

Resposta

Equação na forma padrão:
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25.
Equação na forma geral:
x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20 = 0.
Centro: C(-2,1). Raio: r=5.

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