Seja T: R^2 R^2,(x, y) mapsto(-y, x). Decida se existe uma base de R^2 formada por autovetores de T. O operador T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^2toR^2 definido por
T(x,y)=(-y,x)
O que se pede é verificar se existe uma base de R^2 formada por autovetores de T e, em consequência, se T é diagonalizável sobre R. Para isso vamos:
  1. Encontrar a matriz de T na base canônica,
  2. Calcular o polinômio característico e suas raízes (autovalores),
  3. Verificar se há autovetores reais suficientes para formar base.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2 é
A = 0 & -1 1 & 0 ,
pois T(1,0)= (0,1) e T(0,1)=(-1,0).

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) =det -lambda & -1 1 & -lambda =lambda^2+1
As raízes são as soluções de lambda^2+1=0, isto é,
lambda = i e lambda = -,i

Passo 4

Os autovalores lambda=i e lambda=-,i não são reais, logo não existem autovetores não-nulos em R^2. Isso significa que não há nem mesmo um autovetor real para T.

Passo 5

Como não há autovetores reais não-nulos, não é possível encontrar dois autovetores lineares independentes em R^2. Portanto não existe base de R^2 formada por autovetores de T.

Resposta

Não existe base real de autovetores de T e, portanto, T não é diagonalizável sobre R.

Exercícios relacionados