Encontre o polinômio cúbico que interpola os pontos dados.
(-2,2),(-1,2),(1,2) e (2,10).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio cúbico p(x) que passe pelos pontos (-2,2), (-1,2), (1,2) e (2,10). O conteúdo aqui é interpolação polinomial usando um polinômio de grau 3. Vamos assumir a forma
p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d
e determinar os coeficientes a,b,c,d impondo que p(x) reproduza todas as ordenadas dadas.

Passo 2

Substituindo cada ponto em p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, obtemos o sistema
\begin{cases} -8a + 4b -2c + d = 2,\\\\ - a + b - c + d = 2,\\\ \;\; a + b + c + d = 2,\\\ \;\;8a + 4b +2c + d = 10. \end{cases}

Passo 3

Para eliminar d, subtraímos a segunda equação da primeira e a terceira da quarta:
\begin{aligned} (-8a+4b-2c+d)\;-\;(-a+b-c+d)&=0 \quad\Longrightarrow\quad -7a+3b-c=0,\\\ (8a+4b+2c+d)\;-\;(a+b+c+d)&=8 \quad\Longrightarrow\quad 7a+3b+c=8. \end{aligned}

Passo 4

Somando essas duas relações:
(-7a+3b-c)+(7a+3b+c)=0+8 \quad\Longrightarrow\quad 6b=8 \quad\Longrightarrow\quad b=\tfrac{4}{3}.
Substituindo em 7a+3b+c=8
7a +3\cdot\tfrac{4}{3} + c = 8 \quad\Longrightarrow\quad 7a +4 + c = 8 \quad\Longrightarrow\quad c = 4-7a.

Passo 5

Agora usamos a terceira equação original a+b+c+d=2 para achar d em função de a:
a + \tfrac{4}{3} + (4-7a) + d = 2 \quad\Longrightarrow\quad d = 2 - a -\tfrac{4}{3} -4 +7a = 6a - \tfrac{10}{3}.

Passo 6

Finalmente, substituímos b, c=4-7a e d=6a-\tfrac{10}{3} na segunda equação original -a+b-c+d=2:
-a + \tfrac{4}{3} - (4-7a) + \bigl(6a - \tfrac{10}{3}\bigr) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 12a -6 = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{2}{3}.
Com isso,
c = 4 -7\cdot\tfrac{2}{3} = -\tfrac{2}{3}, \quad d = 6\cdot\tfrac{2}{3} - \tfrac{10}{3} = \tfrac{2}{3}.

Passo 7

Reunindo tudo, o polinômio interpolador é
p(x) = \tfrac{2}{3}\,x^3 \;+\;\tfrac{4}{3}\,x^2 \;-\;\tfrac{2}{3}\,x \;+\;\tfrac{2}{3}.

Resposta

p(x) = \frac{2}{3}\,x^3 + \frac{4}{3}\,x^2 - \frac{2}{3}\,x + \frac{2}{3}.

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