Encontre o polinômio interpolador dos dados nos itens abaixo:
x -5 0 5
y=f(x) 100 150 200

Passo 1

Beleza! A gente tem três pontos:
.
O conteúdo aqui é Interpolação Polinomial: achar um polinômio que passe por esses pontos.
Para resolver, a gente vai usar a forma de Lagrange, que monta “polinômios base” e combina com os valores .

Passo 2

Primeiro criamos os três polinômios de Lagrange Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj , um para cada ponto L0(x) =(x-0)(x-5)(-5-0)(-5-5) =x(x-5)(-5)cdot(-10) =x(x-5)50, .
Em geral,
L1(x) =(x+5)(x-5)(0+5)(0-5) =(x+5)(x-5)5cdot(-5) =-(x+5)(x-5)25,
Aqui:
  • L2(x) =(x+5)(x-0)(5+5)(5-0) =x(x+5)10cdot5 =x(x+5)50 , , .
Então:

Passo 3

O polinômio interpolador é
P(x)=y0,L0(x)+y1,L1(x)+y2,L2(x)
Substituindo P(x) =100cdotx(x-5)50 +150l(-(x+5)(x-5)25r) +200cdotx(x+5)50 , P(x)=(2x^2-10x)+(-6x^2+150)+(4x^2+20x) =(2-6+4)x^2+(-10+20)x+150 =0cdot x^2+10x+150 =10x+150 , :
Agora é só simplificar cada termo:
  1. .
  2. .
  3. .
Somando:

Resposta

boxedP(x)=10x+150

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