3- (2,0 pontos) Numa calculadora aproxima-se o valor de e^x, para todo x in[1,1], pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido atravé da expansão de e^x em série de Taylor em torno do ponto x0=0.
a) Qual a aproximaçâo de e^0,5 fornecida pela calculadora?
(b) Utilizando a expressão do erro cometido ao se aproximar a função e^x pela sua expansào em série de Taylor, forneça um limitante superior para o erro cometido no item (a).

Passo 1

Beleza, o exercício tá assim: a gente usa o polinômio de Taylor (ou, no caso, Maclaurin) de grau 3 pra aproximar e^x em torno de x0=0. Depois, pede pra computar essa aproximação em x=0,5 e dar um limitante superior pro erro dessa aproximação.
Conteúdo envolvido:
  • Série de Taylor/Maclaurin de e^x.
  • Polinômio de Taylor de grau 3 (termos até x^3).
  • Fórmula do resto (erro) de Lagrange.

Passo 2

Vamos montar o polinômio de Maclaurin (Taylor em 0) de grau 3 de e^x. A gente sabe que
e^x = sumk=0^infty x^kk!
Pegando só até k=3, o polinômio T3(x) é
T3(x)=1 + x + x^22! + x^33!

Passo 3

Agora plugamos x=0,5 em T3(x):
T3(0.5)=1 + 0.5 + (0.5)^22 + (0.5)^36
Calculemos termo a termo:
- 1 + 0.5 = 1.5,
- (0.5)^2/2 = 0.25/2 = 0.125,
- (0.5)^3/6 = 0.125/6 approx 0.0208333.
Somando:
T3(0.5)approx 1.5 + 0.125 + 0.0208333 = 1.6458333

Passo 4

Agora vamos ao erro. A fórmula de Lagrange pro resto (termo que sobra do grau 4 em diante) é:
R3(x)=f^(4)(xi)4!,x^4
para algum xi entre 0 e x. Aqui f(x)=e^x, então f^(4)(x)=e^x. Como x=0.5, escolhemos o maior valor de e^xi no intervalo [0,0.5], que é e^0.5.
Logo, um limitante superior é
$$|R_3(0.5)|\le \frac{e{0.5}}{4!},(0.5)4
= e{0.5},\frac{0.54}{24}
= e^{0.5},\frac{0.0625}{24}
= e^{0.5}\times 0.00260417
\approx 1.6487\times0.00260417
\approx 0.00429.$$

Resposta

A calculadora dá e^0.5approx 1.6458333 pelo polinômio de grau 3, e o erro máximo é aproximadamente 0.00429.

Exercícios relacionados