3- (2,0 pontos) Numa calculadora aproxima-se o valor de
, para todo
, pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido atravé da expansão de
em série de Taylor em torno do ponto
.
a) Qual a aproximaçâo de
fornecida pela calculadora?
(b) Utilizando a expressão do erro cometido ao se aproximar a função
pela sua expansào em série de Taylor, forneça um limitante superior para o erro cometido no item (a).
a) Qual a aproximaçâo de
(b) Utilizando a expressão do erro cometido ao se aproximar a função
Passo 1
Beleza, o exercício tá assim: a gente usa o polinômio de Taylor (ou, no caso, Maclaurin) de grau 3 pra aproximar
em torno de
. Depois, pede pra computar essa aproximação em
e dar um limitante superior pro erro dessa aproximação.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Série de Taylor/Maclaurin de
. - Polinômio de Taylor de grau 3 (termos até
). - Fórmula do resto (erro) de Lagrange.
Passo 2
Vamos montar o polinômio de Maclaurin (Taylor em 0) de grau 3 de
. A gente sabe que
Pegando só até
Passo 3
Agora plugamos
em
:
Calculemos termo a termo:
-
-
-
Somando:
Passo 4
Agora vamos ao erro. A fórmula de Lagrange pro resto (termo que sobra do grau 4 em diante) é:
para algum
Logo, um limitante superior é
$$|R_3(0.5)|\le \frac{e{0.5}}{4!},(0.5)4
= e{0.5},\frac{0.54}{24}
= e^{0.5},\frac{0.0625}{24}
= e^{0.5}\times 0.00260417
\approx 1.6487\times0.00260417
= e^{0.5},\frac{0.0625}{24}
= e^{0.5}\times 0.00260417
\approx 1.6487\times0.00260417
\approx 0.00429.$$
Resposta
A calculadora dá
pelo polinômio de grau 3, e o erro máximo é aproximadamente
.