Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz.
T: R^4 longrightarrow R^4, definida por T(x, y, z, t)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+t).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio minimal de TcolonR^4toR^4 dado por
T(x,y,z,t) = (,x,;x+y,;x+y+z,;x+y+z+t,)
e que identifiquemos se T é diagonalizável. Se for, devemos encontrar uma base que torne a matriz de T diagonal e escrevê-la.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3,e4. Observando
T(e1) = (1,1,1,1), T(e2) = (0,1,1,1), T(e3) = (0,0,1,1), T(e4) = (0,0,0,1),
vemos que
M = [T] B = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 ,
que é triangular inferior com todos os 1 na diagonal.

Passo 3

O polinômio característico de M é
chiT(lambda) = det(M - lambda I) = (1-lambda)^4,
logo o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.

Passo 4

Defina N = M - I. Como M é estritamente triangular inferior com zeros na diagonal, N é nilpotente e satisfaz N^4=0. Para ver que não vale N^3=0, note que
N(e1) = (0,1,1,1), N^2(e1)=(0,0,1,2), N^3(e1)=(0,0,0,1)neq0
Portanto o menor expoente k tal que N^k=0 é k=4. Isso implica que o polinômio minimal de T é
mT(x) = (x-1)^4

Passo 5

Como o polinômio minimal (x-1)^4 tem fator quadrado repetido, T não é diagonalizável (precisaríamos de um polinômio minimal sem raízes repetidas para que T fosse diagonalizável).

Resposta

O polinômio minimal é
mT(x) = (x-1)^4,
e T não é diagonalizável.

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