Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz. , definida por .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio minimal de dado por
e que identifiquemos se é diagonalizável. Se for, devemos encontrar uma base que torne a matriz de diagonal e escrevê-la.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Observando
vemos que
que é triangular inferior com todos os 1 na diagonal.
Passo 3
O polinômio característico de M é
chiT(lambda) = det(M - lambda I) = (1-lambda)^4,
logo o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 4.
Passo 4
Defina N = M - I. Como M é estritamente triangular inferior com zeros na diagonal, N é nilpotente e satisfaz N^4=0. Para ver que não vale N^3=0, note que
Portanto o menor expoente k tal que N^k=0 é k=4. Isso implica que o polinômio minimal de T é
mT(x) = (x-1)^4
Passo 5
Como o polinômio minimal (x-1)^4 tem fator quadrado repetido, T não é diagonalizável (precisaríamos de um polinômio minimal sem raízes repetidas para que T fosse diagonalizável).