Seja
a transformação linear que na base canônica de
é representada pela matriz
Calcule o polinômio característico de
T ;
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico de
T , que é dado por
Aqui vamos escrever a matriz
lambda I6 - A e usar expansão de Laplace para calcular esse determinante.
Passo 2
Escrevendo
lambda I6 - A , temos
Note que só o último pivô da coluna 6 aparece em posição
(6,6) .
Passo 3
Expandindo o determinante pela última coluna, só o elemento
(6,6) contribui:
onde
M é a submatriz
5times5 obtida retirando a linha 6 e a coluna 6:
Passo 4
Para calcular
det(M) , note que
M=(lambda-2)I5+N , onde
N é nilpotente estritamente triangular por colunas. Em particular, pode-se expandir
det(M) pela última linha de
M . Quase todos os menores
4times4 terão uma coluna inteira nula, exceto o menor obtido ao retirar a quinta linha e a quinta coluna, que é
cujo determinante é
(lambda-2)^4 (produto dos elementos da diagonal, pois é triangular em bloco).
Passo 5
Na expansão pela quinta linha de
M , o elemento da coluna 5 é
lambda-2 e seu menor vale
(lambda-2)^4 . Logo