Seja T: R^6 longrightarrow R^6 a transformação linear que na base canônica de R^6 é representada pela matriz
A=[rrrrrr 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 ]
Calcule o polinômio característico de T;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de T, que é dado por
chiT(lambda)=det(lambda I6 - A)
Aqui vamos escrever a matriz lambda I6 - A e usar expansão de Laplace para calcular esse determinante.

Passo 2

Escrevendo lambda I6 - A, temos
lambda I6 - A = lambda-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & lambda-2 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & lambda-2 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & lambda-2 & 0 & 0 -1 & -1 & -1 & -1 & lambda-2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & lambda+1
Note que só o último pivô da coluna 6 aparece em posição (6,6).

Passo 3

Expandindo o determinante pela última coluna, só o elemento (6,6) contribui:
chiT(lambda) =(lambda+1),det(M),
onde M é a submatriz 5times5 obtida retirando a linha 6 e a coluna 6:
M = lambda-2 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & lambda-2 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & lambda-2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & lambda-2 & 0 -1 & -1 & -1 & -1 & lambda-2

Passo 4

Para calcular det(M), note que M=(lambda-2)I5+N, onde N é nilpotente estritamente triangular por colunas. Em particular, pode-se expandir det(M) pela última linha de M. Quase todos os menores 4times4 terão uma coluna inteira nula, exceto o menor obtido ao retirar a quinta linha e a quinta coluna, que é
lambda-2 & 0 & 0 & 0 -1 & lambda-2 & 0 & 0 1 & 0 & lambda-2 & 0 0 & -1 & 0 & lambda-2 ,
cujo determinante é (lambda-2)^4 (produto dos elementos da diagonal, pois é triangular em bloco).

Passo 5

Na expansão pela quinta linha de M, o elemento da coluna 5 é lambda-2 e seu menor vale (lambda-2)^4. Logo
det(M)=(lambda-2)cdot(lambda-2)^4=(lambda-2)^5

Resposta

chiT(lambda)=(lambda+1),(lambda-2)^5

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