Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz.
T: R^4 longrightarrow R^4, definida por T(x, y, z, t)=(2 x+y, x+y, 2 y+2 z, 3 t).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio minimal de T:R^4toR^4 dado por
T(x,y,z,t) = (2x+y,;x+y,;2y+2z,;3t),
e identificar se T é diagonalizável. Se for, queremos uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente. Vamos precisar montar a matriz de T na base canônica, calcular seu polinômio característico (e hence o minimal), verificar a multiplicidade dos autovalores e achar autovetores.

Passo 2

Montamos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3,e4. De
T(e1) = (2,1,0,0), T(e2) = (1,1,2,0), T(e3) = (0,0,2,0), T(e4) = (0,0,0,3),
vemos que
[T] = 2 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3

Passo 3

O bloco 3times3 em cima à esquerda denotemos por B. Seu polinômio característico é
det(B - lambda I) = 2-lambda & 1 & 0 1 & 1-lambda & 0 0 & 2 & 2-lambda =(2-lambda)l((1-lambda)(2-lambda)r)- (2-lambda) =(2-lambda)l(lambda^2-3lambda+1r)
O quarto autovalor vem direto do bloco (3), dando fator (3-lambda). Assim o polinômio característico de T é
chiT(lambda) = (3-lambda),(2-lambda),(lambda^2-3lambda+1)
Como nenhum fator se repete, o polinômio minimal é exatamente
mT(lambda) = (3-lambda),(2-lambda),(lambda^2-3lambda+1)

Passo 4

Os autovalores são
lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3,4 = 3pmraiz52,
todos distintos. Logo o minimal tem raízes simples e T é diagonalizável.

Passo 5

Para lambda=3, a equação (T-3I)(x,y,z,t)=0 força x=y=z=0 e t livre. Um autovetor é
v1 = (0,0,0,1)
Para lambda=2, (T-2I)(x,y,z,t)=0 x=y=t=0 e z livre, logo
v2 = (0,0,1,0)
Para lambda raiz de lambda^2-3lambda+1=0, escreva lambdaneq2,3. Da primeira e segunda linha vem
(2-lambda)x + y =0, x + (1-lambda)y=0,
que levam a y=(lambda-2)x. Da terceira linha 2y+(2-lambda)z=0 resulta z=2x. Assim, tomando x=1, obtemos para
lambda3=tfrac3+raiz52 e lambda4=tfrac3-raiz52 os autovetores
v3 = l(1,;lambda3-2,;2,;0r), v4 = l(1,;lambda4-2,;2,;0r)

Passo 6

Uma base de R^4 de autovetores é
B = ,v3,;v4,;v2,;v1
correspondente aos autovalores lambda3,lambda4,2,3. Na base B a matriz de T é diagonal:
[T]B = lambda3 & 0 & 0 & 0 0 & lambda4 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3

Resposta

O polinômio minimal é
mT(lambda) = (3-lambda),(2-lambda),(lambda^2-3lambda+1)
O operador é diagonalizável. Uma base de autovetores é
l (1,lambda3-2,2,0),;(1,lambda4-2,2,0),;(0,0,1,0),;(0,0,0,1) r,
com lambda3,4=(3pmraiz5)/2, e a matriz diagonal associada é
diagl(lambda3,;lambda4,;2,;3r)

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