Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz. , definida por .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio minimal de dado por
e identificar se é diagonalizável. Se for, queremos uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente. Vamos precisar montar a matriz de na base canônica, calcular seu polinômio característico (e hence o minimal), verificar a multiplicidade dos autovalores e achar autovetores.
Passo 2
Montamos a matriz de na base canônica . De
vemos que
Passo 3
O bloco 3times3 em cima à esquerda denotemos por B. Seu polinômio característico é
todos distintos. Logo o minimal tem raízes simples e T é diagonalizável.
Passo 5
Para lambda=3, a equação (T-3I)(x,y,z,t)=0 força x=y=z=0 e t livre. Um autovetor é
v1 = (0,0,0,1)
Para lambda=2, (T-2I)(x,y,z,t)=0 dá x=y=t=0 e z livre, logo
v2 = (0,0,1,0)
Para lambda raiz de lambda^2-3lambda+1=0, escreva lambdaneq2,3. Da primeira e segunda linha vem
(2-lambda)x + y =0, x + (1-lambda)y=0,
que levam a y=(lambda-2)x. Da terceira linha 2y+(2-lambda)z=0 resulta z=2x. Assim, tomando x=1, obtemos para lambda3=tfrac3+raiz52 e lambda4=tfrac3-raiz52 os autovetores