Seja T: R^6 longrightarrow R^6 a transformação linear que na base canônica de R^6 é representada pela matriz
A=[rrrrrr 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 ]
Determine o polinômio minimal de T

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^6toR^6 cuja matriz na base canônica é
A= 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1
Queremos o polinômio minimal de T. Vamos usar que, para uma matriz em forma de bloco triangular
A=B & 0 C & D,
o polinômio minimal de A é o lcm dos polinômios mínimos de B e de D.

Passo 2

Identificamos os blocos
B= 2 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 -1& 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 2 , D = l[-1r]
Logo
mA(x)=lcml(mB(x),,mD(x)r)

Passo 3

O bloco D=[-1] tem única entrada -1, logo o seu polinômio minimal é
mD(x)=x-(-1)=x+1

Passo 4

Para B note que B=2I5+N, onde N=B-2I5 é estritamente triangular inferior e, portanto, nilpotente. Calculamos os menores inteiros k tais que N^k=0:
- N^2neq0,
- N^3neq0,
- N^4=0.
Assim o índice de nilpotência de N é 4, e o polinômio minimal de B é
mB(x)=(x-2)^4

Passo 5

Finalmente
mA(x)=lcml((x-2)^4,;x+1r)=(x-2)^4,(x+1)

Resposta

O polinômio minimal de T é
(x-2)^4,(x+1)

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