Encontre o polinômio mínimo e característico dos operadores dados pelas respectivas matrizes associadas na base canônica, C, de cada espaço.
T in L(R^2),[T]C=[cc2 & -1 1.25 & -1].

Passo 1

O enunciado nos dá o operador TcolonR^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
A=2 & -1[6pt]tfrac54 & -1
Precisamos usar a definição de polinômio característico
chiT(lambda)=det(A-lambda I)
e, em seguida, a relação entre raízes distintas do característico e o polinômio mínimo (que é o monic de menor grau que anula A e cujos fatores lineares são os valores próprios distintos).]

Passo 2

Calculemos
chiT(lambda) =detl(A-lambda Ir) =det2-lambda & -1[3pt]tfrac54&-1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda); - ;(-1)cdottfrac54 ]

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(2-lambda)(-1-lambda) =-l(2-lambdar)(1+lambda) =-l(2+2lambda-lambda-lambda^2r) =-2-lambda+lambda^2
Somando tfrac54 obtemos
chiT(lambda) =lambda^2-lambda-2+tfrac54 =lambda^2-lambda-tfrac34

Passo 4

As raízes de chiT são
lambda1,2 =1pmraiz1+32 =1pm22 Longrightarrow lambda1=tfrac32,;lambda2=-tfrac12,
que são distintas. Logo, o polinômio mínimo mT(lambda) deve ser monic, anular A e conter exatamente esses dois fatores lineares, ou seja, coincide com chiT(lambda).

Resposta

chiT(lambda)=lambda^2-lambda-tfrac34,
\quad
mT(lambda)=lambda^2-lambda-tfrac34

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