Sejam
operadores lineares sobre
. Mostre que se
então
e
são
-invariantes.
Passo 1
O enunciado está no contexto de espaços vetoriais e operadores lineares. Diz que
e
são operadores lineares sobre um mesmo espaço vetorial
e satisfazem
Queremos mostrar que o núcleo de
, denotado
, e a imagem de
, denotada
, são subespaços de
que permanecem estáveis por
. Para isso, precisamos usar a definição de
-invariância: um subespaço
é
-invariante se, sempre que
, temos
.
Passo 2
Mostrando que
é
-invariante.
Seja . Por definição, isso significa que
Seja
Aplicando
e usando a comutatividade
, obtemos
Logo
. Concluímos que
é
-invariante.
Passo 3
Mostrando que
é
-invariante.
Seja . Por definição, existe
tal que
. Aplicando
a
e usando a comutatividade, temos
Seja
Como
é claramente um vetor da forma
, isso mostra que
. Portanto
é
-invariante.
Resposta
Mostramos que se
, então tanto
quanto
satisfazem a condição de
-invariância, ou seja,