Sejam T, L operadores lineares sobre V. Mostre que se T circ L=L circ T então Nuc(L) e Im(L) são T-invariantes.

Passo 1

O enunciado está no contexto de espaços vetoriais e operadores lineares. Diz que T e L são operadores lineares sobre um mesmo espaço vetorial V e satisfazem
Tcirc L ;=; Lcirc T
Queremos mostrar que o núcleo de L, denotado ker(L), e a imagem de L, denotada Im(L), são subespaços de V que permanecem estáveis por T. Para isso, precisamos usar a definição de T-invariância: um subespaço Wsubseteq V é T-invariante se, sempre que win W, temos T(w)in W.

Passo 2

Mostrando que ker(L) é T-invariante.
Seja vin ker(L). Por definição, isso significa que
L(v)=0
Aplicando T e usando a comutatividade Tcirc L = Lcirc T, obtemos
Ll(T(v)r) ;=; (Lcirc T)(v) ;=;(Tcirc L)(v) ;=;Tl(L(v)r) ;=;T(0) ;=;0
Logo T(v)in ker(L). Concluímos que ker(L) é T-invariante.

Passo 3

Mostrando que Im(L) é T-invariante.
Seja win Im(L). Por definição, existe uin V tal que w = L(u). Aplicando T a w e usando a comutatividade, temos
T(w) ;=; Tl(L(u)r) ;=;(Tcirc L)(u) ;=;(Lcirc T)(u) ;=;Ll(T(u)r)
Como Ll(T(u)r) é claramente um vetor da forma L(algo), isso mostra que T(w)in Im(L). Portanto Im(L) é T-invariante.

Resposta

Mostramos que se Tcirc L = Lcirc T, então tanto ker(L) quanto Im(L) satisfazem a condição de T-invariância, ou seja,
Tl(ker(L)r)subseteq ker(L) e Tl(Im(L)r)subseteq Im(L)

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